§24向量的数量积.ppt

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1、第2章平面向量§2.4向量的数量积s┓我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）力F所做的功W可用下式计算W=

2、F

3、

4、S

5、cosθ其中θ是F与S的夹角F引入:功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？1、向量的夹角的概念两个非零向量和，作，与反向OABOA与同向OABB则叫做向量和的夹角．记作与垂直，OAB注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的练习1、如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB

6、与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！记作=已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量即有叫做与的数量积（或内积），规定：零向量与任意向量的数量积为0，即表示数量而不表示向量,与　、　、不同,它们表示向量；在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是（1）（2）（3）2、数量积的概念（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．练习２已知

7、a

8、=5，

9、b

10、=4，a与b的夹角，求a·b.解：a·b=

11、a

12、

13、b

14、cosθ(4)cos=(a·b)/(

15、a

16、

17、b

18、).(3)当a

19、与b同向时,a·b=

20、a

21、

22、b

23、;当a与b反向时,a·b=-

24、a

25、

26、b

27、.特别地,a·a(或写成a2)=

28、a

29、2或

30、a

31、=√a·a设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角,则a⊥b=/2cos=0(1)e·a=a·e=

32、a

33、cos.

34、a

35、

36、b

37、cos=0a·b=0向量a与b共线

38、a·b

39、=

40、a

41、

42、b

43、a·b=

44、a

45、

46、b

47、cos(5)

48、a·b

49、≤

50、a

51、

52、b

53、.(2)a⊥ba·b=0.3、向量数量积的性质练习3、判断下列命题是否正确1.若a=0,则对任意

54、向量b，有a·b=0.2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a·b≠0.3.若a≠0,且a·b=0,则b=0.4.若a·b=0，则a=0或b=0.5.对任意的向量a，有a2=│a│2.6.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.()(×)()(×)(×)(×)运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量积能否满足下面的运算律？已知向量和实数，则向量的数量积满足：（1）（交换律）（2）（数乘结合律）（3）（分配律）（不一定成立）4、向量数量积的运算律（3）12

55、ABOA1B1C证明：在平面内取一点，作,，（即）在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即即四、总结：学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角5、判断三角形的形状几何意义OBAθB1OBAθB1AOBθOBAOBA当时,当时,当时,参考答案：①1；②1；③0；④0.问题1：已知怎样用的坐标表示呢？请同学们看下列问题.设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为请计算下列

56、式子：①②③④====平面向量数量积的坐标表示问题2：推导出的坐标公式.答案：这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得：若设则这就是A、B两点间的距离公式.问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量平行和垂直的坐标表示式.（1）答案：（2）（3）说明：这里式子中向量都是非零向量例题分析例1：想一想的夹角有多大？例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证△ABC是直角三角形.想一想：还有其他证明方法吗？提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。证明：△ABC是直角三角形例3：求与向量的夹角

57、为45o的单位向量.分析：可设x（m,n)，只需求m,n.易知……①再利用（数量积的坐标法）即可！解：设所求向量为,由定义知：……①另一方面……②∴由①，②知解得：或∴或说明：可设进行求解.，求例4在中，，值。解：当时，，∴∴，当时，，，∴∴，当时，，∴∴．综上，所求k的值为或或演练反馈B1、若则与夹角的余弦值为（）2、已知：求证：⊥答案：∴⊥总结提炼A、B两点间的距离公式.（1）（2）（3）