向量的数量积.ppt

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1、§2.4向量的数量积一.问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？其中力和位移是向量，是与的夹角，而功W是数量.情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？Fs┓1．两个非零向量夹角的概念（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180已知非零向量a与ｂ，作＝a，＝ｂ，则∠ＡＯＢ叫a与ｂ的夹角.∠ＡＯＢ=θ（0≤θ≤π）（2）当θ＝π时，a与ｂ反向；（3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直，记a⊥ｂ；abObaO说明：（1）当θ＝0时，a与ｂ同向；如图,等边三角形ABC中,

2、求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！练习D2．平面向量数量积（内积）的定义：探究：两个向量的数量积与向量数乘有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=

7、a

8、

9、b

10、cos，（０≤θ≤π）.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.规定0与任一向量的数量积为0。（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且

11、ab=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由ab=bc能否推出a=c？(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。即：0·a=03.两个向量的数量积的性质：0两向量均为非零向量4.运算律：a·c＋b·c(1)a·b=b·a(3)(a＋b)·c=(2)(交换律)(分配律)例1判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a，ｂ，с都

12、有（a·ｂ）с＝a•(ｂ·с）；⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.例1判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a·ｂ）·＝a•(ｂ·с）；⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.例2已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6，当①a∥ｂ，②a⊥ｂ，③a与ｂ的夹角是135°时，分别求a·ｂ.应用数学:例3.

13、a

14、=2，

15、b

16、=5，a与b的夹角为600，求：(2)(a+2b)·(a-3b)(3)(a+b)2(4)

17、a+b

18、分析:a·a=

19、a

20、

21、2（简写a2=

22、a

23、2）性质（1）（2）探究:下列等式成立吗?（3）(×)(√)(√)夹角的范围运算律性质数量积(3)(a＋b)·c=a·c＋b·ca·a=

24、a

25、2（简写a2=

26、a

27、2）知识回顾:(2)(1)a·b=b·a(交换律)(分配律)