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1、数学问题研究的方法问题---实验观察---猜想---合情推理。数学建模，数形结合。由特殊到一般---归纳总结---拓广应用。独立思考---合作探究。倍积倍围图形是否存在咸阳陕广学校雷波课题学习猜想,证明与拓广北师大2014版九年级上册挑战“自我”任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?---你准备怎么去做?---你有哪些解决方法?解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2.若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2≠2a2;若面积倍增,即面积变为2a2,
2、则其边长应为a≠2a.结论：不存在这样的正方形，它的面积和周长分别是已知正方形的面积和周长的2倍。aa22a4a22a2a挑战“自我”任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍?你能提出新的问题吗?挑战“自我”由特殊到一般如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2.所求矩形的周长和面积应分别为12和4.212接下来该怎么做?你有何想法?猜想,证明与拓广《倍积倍围图形是否存在》(1)从周长是12出发,看面积是否是4;解：设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x
3、,根据题意,得x(6-x)=4.即x2-6x+4=0.如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.解这个方程得:结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.(2)从面积是4出发,看周长是否是12.解:设所求矩形的长为x,则它的宽为4/x,根据题意,得x+4/x=6.即x2-6x+4=0.解这个方程得:结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.挑战“自我”由特殊到一般如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是
4、否还有相同的结论?如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1呢?更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍然有相同的结论?由特殊到一般从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn;解:设所求矩形的长为x,则它的宽为2(m+n)-x,根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn.即x2-2(m+n)x+2mn=0.解这个方程得:若从面积是2mn出发,可得同样的结论.分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn
5、.挑战“自我”结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.你能提出新的问题吗?神奇的反比例函数同学们,我们已经知道用反比例函数可以解答世界数学难题:如三等分角等.今天我们再来《读一读》P168反比例函数的又一个杰作.换一个角度看设所求矩形的长和宽分别为x和y，则满足x+y=6,xy=4{一，建立良好数学思维模式：（1）直观判断和猜想。（合理）（2）检验猜想。（如何验证，策略）（3）特例的证明。（蕴涵处理问题的方法）（4）引入一般性的研究。（得出结论）（5）拓广。（
6、由倍增到减半）（6）反思。（总结获得的知识，感悟处理问题的策略和方法。积累成功与失败的经验。）二，综合运用所学知识，体会知识间的内在联系，形成对数学的整体认识。（二次方程，方程组，函数，相似等）小结：数学是什么数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推进，共性和个性。------美国数学家柯朗任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?你准备怎么去做?小明认为,这个结论是正确的,理由是
7、:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.作业：
