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1、综合与实践猜想、证明与拓广咸阳陕广学校雷波一，教学目标：1.让学生经历探索与证明数学结论的过程，增强问题意识和自主探索的意识，感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性和不同数学知识领域之间的联系；形成对数学的整体性认识。2.通过对一个开放性，研究性问题的探索，获得探索和发现的体验，运用归纳，综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法，发展学生的推理探索能力。3.通过反思自己以及同伴解决问题是过程，使学生提出问题的能力得到发展，在独立思考并与同学合作交流中扩展思路，获得成功的体验和克服困难的经历，增强学习数学的信心。二、学情分析：学生在经历了两
2、年半的初中学习后，积累了一定的证明的经验，思想和方法，具备了几何证明及探究的能力。在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。在学习了一次函数和反比例函数后，能理解应用函数的思想，数形结合的思想解决实际问题。三、教学重难点：重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.难点：从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程，方程组，函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法。四、教学方法：自主学习法，分组讨论
3、法、讲授法、五、教学过程：1，问题提出并解决：问题1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?探究方案：（1）利用相似知识，相似比是1：2时，面积比是1：4.（2）设给定的正方形边长为a,则其面积是a².若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2≠2a2;若面积倍增,即面积变为2a²,则其边长应为√2a≠2a.结论：不存在这样的正方形，它的面积和周长分别是已知正方形的面积和周长的2倍。（正方形问题的解决为后面矩形问题的解决提供了思想方法。）问题2.任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积
4、分别是已知矩形周长和面积的2倍?探究方案：（1）是否可利用相似知识？（引导学生辨明为什么正方形可以用相似的知识解决而矩形不可以。）（2）用绳子演示，让学生直观感觉是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?（让学生体会先有直观感受，再有猜想，再进入合情推理，寻找解决方案。）（3）用特殊值证明。如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2.所求矩形的周长和面积应分别为12和4.我们从周长是12出发,看面积是否是4？或从面积是4出发,看周长是否是12？利用方程模型求解。结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个
5、矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.（引导学生思考：①特殊值成立后要上升到一般值的证明。②特殊值若不成立，一般值是否也不成立，或什么条件成立什么条件不成立。在列方程中，有些学生列的是一元二次方程，有些学生列的是二元方程组。二元方程组刚好与后面利用函数解决此问题相对应。）（4）上升到一般性的证明。如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn.可从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn;或从面积是2mn出发,看周长是否是4(m+n).同样利用方程模型求解。结论:任
6、意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.（含有常量m,n的方程的构建和求解部分学生会有困难，先独立解决，再合作探究，最后再讲解。让学生体会类比特殊值时构建方程的方法解决一般值时的问题。）2，合作探究：换个角度看问题：用反比例函数解决这一问题。自主学习P168读一读。除了从方程的角度可以解决上面的问题，我们也可以从函数的角度探究。如果把x+y=6,xy=4中的x，y看成变量而不是未知数，则满足条件的x，y就成了一次函数y=-x+6和反比例函数y=4/x。由图像可看到交点存在，即满足要求的矩形是存在的。（引导学生探索
7、解决问题的多种方法，同时也呈现了两种数学思想方法---函数思想和方程思想，通过比较让学生感受解决问题方法的多样性和最优化策略。）3，拓展延伸：你能提出新的问题吗?（1）从形上拓展：三角形，平行四边形，圆等。（2）从量上拓展：3倍，4倍，1/2倍等。六，课堂小结：引导学生小结：1，建立良好数学思维模式：（1）直观判断和猜想。（合理）（2）检验猜想。（如何验证，策略）（3）特例的证明。（蕴涵处理问题的方法）（4）引入一般性的研究。（得出结论）（5）拓广。（由倍增到减半）（6）反思。（总结获得的知识，感悟处理问题的策略和方法。积累成功与失败的经验。）2，综
8、合运用所学知识，体会知识间的内在联系，形成对数学的整体认识。（二次方程，方程组，函数，相似等）七，作业：任意
