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时间:2019-05-19
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1、www.czsx.com.cn专题四 猜想与证明1.猜想与证明问题怀化中考近7年共考查4次,都是以解答题的形式出现.2.考查类型:(1)与图形的位似有关,探究两条边之间的关系;(2)与尺规作图有关,利用正方形的性质探究边与边之间的关系,其中有一问会涉及到如何作图;(3)与旋转有关,主要是利用旋转前后的性质,分别涉及到直线和正方形;(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析,与图形的折叠、平移有关.预计2016年怀化中考仍会重点考查此内容,在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题.,中考重难点突破) 与图形旋转有关的问题
2、【经典导例】【例1】(2010河北中考)在图①至图③中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°.(1)如图①,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系;(2)将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②,其中AO=OB.求证:AC=BD,AC⊥BD;(3)将图②中的OB拉长为AO的k倍得到图③,求的值.【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具,由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例.有时需先进行等量代换,将两线段放到相似三角形或全等三角形中,若出现直角三角形,则利用直角三角形的性质求解.(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直.先观察图形,根
3、据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直.若平行,则常通过以下方法进行证解:①平行线的判定定理;②平行四边形对边平行;③三角形中位线性质等.若垂直,则可考虑以下途径:①证明两线段所在直线夹角为90°;②两线段是矩形的邻边;③两线段是菱形的对角线;④勾股定理的逆定理;⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明.1.(2015重庆中考)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转
4、一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BE+CF=AB;(3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线交与点F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE-CF).2.(2015龙东中考)已知△ABC中,M为BC的中点,直线m绕点A旋转,过B、M、C分别作BD⊥m于D,www.czsx.com.cnME⊥m于E,CF⊥m于F.(1)当直线m经过B点时,如图①,易证EM=________CF(不需证明);(2)当直线m不经过B点,旋转到如图②、图③的位置时,线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选
5、择一种情况加以证明. 与图形相似、位似有关的问题【经典导例】【例2】(2014河北中考)如图①,点E是线段BC的中点,分别以B,C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同侧.(1)AE和ED的数量关系为________,AE和ED的位置关系为________;(2)在图①中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD,分别得到了图②和图③.①在图②中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比是1∶2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD.②在图③中,点F在BE的延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k∶1,若BC=
6、2,请直接写出CH的长为多少时,恰好使得GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得,AE=DE.由AB=BE=EC=CD,可知∠AEB=∠DEC=45°,所以∠AED=90°,故AE⊥ED.(2)由△HGF≌△DHC可证GH=HD,GH⊥HD;由BC=2,可知BE=EC=1,∴EF=k,∴当CH=k时可得CH=FG=k,从而证明△HFG≌△DCH,得到GH=HD,GH⊥HD.【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具,由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例.有时需先进行等量代换,将两线段放到相似三角形或全等三角形中
7、,若出现直角三角形,则利用斜边的中线等于斜边的一半或30°角所对的直角边为斜边的一半进行等量代换.(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直.先观察图形,根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直.若平行,则常通过以下方法进行证解:①平行线判定的定理;②平行四边形对边平行;③三角形中位线性质等.若垂直,则可考虑以下途径:①证明两线段所在直线夹角为90°;②两线段是矩形的邻边;③两线段是菱形的对角线;④勾股定理的逆定理;⑤利用等腰三角形三
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