专题四 归纳与猜想

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1、专题四　归纳与猜想专题名师解读归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在中考试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．热点考向例析考点一　数字规律问题数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．【例1】如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第

2、j列上的数(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a53＝7.　　　　　　1　2　3　4　3　2　12345432345654345676545678765678987678910987则(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.(2)此数表中的四个数anp，ank，amp，amk，满足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________.解析：根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3，a52＝6，a53＝7，所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7

3、)＝0.对于(2)中四个数anp，ank，amp，amk，可以发现anp与ank为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理amk与amp之差也为同行中第k个数与第p个数之差．根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0.答案：(1)0；(2)0.解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．考点二　数式规律问题解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列

4、这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．【例2】给出下列命题：命题1：直线y＝x与双曲线y＝有一个交点是(1,1)；命题2：直线y＝8x与双曲线y＝有一个交点是；命题3：直线y＝27x与双曲线y＝有一个交点是；命题4：直线y＝64x与双曲线y＝有一个交点是；……(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)；(2)请验证你猜想的命题n是真命题．解：(1)命题n：直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是；(2)将代入直线y＝n3x得：右边＝n3×＝n2，左边＝n2，

5、∴左边＝右边．∴点在直线y＝n3x上．同理可证：点在双曲线y＝上，∴直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是.此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．考点三　数形规律问题根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．【例3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆__________个(用含n的代数式表示)．解析：观察图

6、形可知，第n个图形比第(n－1)个图形多n个小圆，所以第n个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．答案：n(n＋1)解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．专题提升演练1．如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2011个图案是(　　)．2．观察下面的几个算式：1＋2＋1＝4,1＋2＋3＋2＋1＝9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16,1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25，…，根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结果：1＋2＋3＋…＋99＋

7、100＋99＋…＋3＋2＋1的值为(　　)．A．100B．1000C．10000D．1000003．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n，m)表示第n排，从左到右第m个数，如(4,2)表示9，则表示58的有序数对是(　　)．A．(11,3)B．(3,11)C．(11,9)D．(9,11)4．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在(　　)．A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的右下角5．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的

8、位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为(　　)．A．52010B．52011C．52009D．540206．观察下列图形：它们是按一定规律排列