2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

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1、2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a，b，c满足：，，则（）A.0B.3C.6D.92．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m－8，n），则n＝（）A.8B.12C.16D.24ABCDEF3．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，E、F分别为矩形外的两点，BE＝DF＝4，AF＝CE＝3，则EF＝（）A．B．15C．D．4．已知O为䝐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数的图象上，位于第二象限的瀹B在反比例函数的图象上﬌且OA⊥OB，则tan∠

2、ABO的值为（）A．B．C．1D．25．已知实数x（y满足关系式，则的最小值为（）A．B．C．1D．6．设n是小于100的正整数且使是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（）A．285B．350C．540D．635二、填空题（每小题7分，共28分）ABCDFOE7．设a，b是一元二次方程的两根，则的值为.8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为.9．已知锐角△ABC的外心为O，AO交BC于D，E、F分别为△ABD、△ACD的外心，若AB＞AC，EF＝BC，则∠C－∠B＝.10．

3、将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为.第一试（B）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a，b，c满足：，，则（）A.12B.9C.6D.32．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m－8，n），则n＝（）A.8B.12C.16D.243．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，E、F分别为矩形外的两点，BE＝DF＝4，AF＝CE＝3，则EF＝（）A．B．15C．D．4．已知实数x，y

4、满足关系式，则的最大值为（）A．3B．6C．9D．125．已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数的图象上，位于第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（）A．B．C．1D．26．设n是小于100的正整数且使是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（）A．784B．850C．1536D．1634二、填空题（每小题7分，共28分）AOBDC7．设a，b是一元二次方程的两根，则的值为.8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为.9．C、D两点在以AB为直径的半圆周上，AD平分

5、∠BAC，AB＝20，AD＝，则AC的长为.10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得ab＋bc＋cd＋de＋ea最小，则这个最小值为.第二试（A）1．（20分）关于x的方程有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.ABCDPFNEM2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC.过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；（2）如果，证明：MN＝MD.3．（25分

6、）设正整数m，n满足：关于x的方程至少有一个正整数解，证明：.第二试（B）1．（20分）若正数a，b满足ab＝1，求的最小值.2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC＝BD.过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.ABCDFMEN（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；（2）如果MN＝MD，证明：BF＝CD＋DF.3．（25分）若关于x的方程至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答

7、案第一试（A）1.解：D.提示：∵，，∴.2.解：C.提示：依题意，有，于是可得.∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴，∴.因此.ABCDEFG3.解：C.提示：易知∠AFD＝∠BEC＝90°，△BEC≌△DFA，∴∠DAF＝∠BCE.延长FA，EB交于点G.∵∠GAB＝90°－∠DAF＝∠ADF，∠GBA＝90°－∠CBE＝∠BCE＝∠DAF，∴△BGA∽△AFD，且∠AGB＝90°，∴AG＝8，BG＝6，∴GF＝11，GE＝10，∴.4.解：A.提示：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D.由OA⊥OB

8、得∠AOB＝90°，于是可得△AOC∽△OBD，∴.5.解：B.提示：设，则由题设条件可知，∴x，y是关于m的一元二次方程的两个实数根，于是有：，解得或.又∵，∴当（即）时，取得最小值，最小值为.6.解：D.提示：∵是15的倍数，∴，∴，∴.设（m是正整数），则.∵是15的倍数，∴是3的倍数，∴或，其中k是非负整数.∴或，其中k是非负整数.∴符