全国初中数学联合竞赛试题参考答案.doc

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1、2010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若均为整数且满足，则（）A．1.B．2.C．3.D．4.2．若实数满足等式，，则可能取的最大值为（）A．0.B．1.C．2.D．3.3．若是两个正数，且，则（）A．.B．.C．.D．.4．若方程的两根也是方程的根，则的值为（）A．－13.B．－9.C．6.D．0.5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则()A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则（）A．28062.B．28065.C．28067.D．28

2、068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数满足方程组则_________.2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则________．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试（A）一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数

3、.二．（本题满分35分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.三．（本题满分35分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.（1）如果都是整数，且，求的值.（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.第二试（B）一、设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）二、与A卷第二题相同三、与A卷第三题相同第二试（C）一、与B卷第一题相同二

4、、与A卷第二题相同三、设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．参考答案第一试一、BCCABD二、1、132、3、4、15第二试（A）一、解：由已知等式可得：①令，，则，其中，均为自然数。于是，等式①变为，即②由于，均为自然数，判断易知：使得等式②成立的，只有两组：和。（1）当，时，，。又，，为三角形的三边长，所以，即，解得。又因为三角形的周长不超过30，即，解得。因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形。（2）当，时，，。又，，为三角形的三边长，所以，即，解得。又因为三角形的周长不

5、超过30，即，解得。因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形。综上可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为。一、解：过点做的切线（切点为）并延长，交于点。因为为的平分线，所以。又因为、均为的切线，所以。又为公共边，所以，所以。由，，所以，故，所以∥。又因为∥，所以和为同一条直线。又点、均在上，所以点和点重合，故是的切线。二、解：点、在二次函数的图象上，故，，解得，。（1）由知，解得。又为整数，所以，，。（2）设，是方程的两个整数根，且。由根与系数的关系可得，，消去，得，两边同时乘以9，得，分解因式，得。所以，或，或，或，解得

6、，或，或，或，又，是整数，所以后面三组解舍去，故，。因此，，，二次函数的解析式为。易求得点、的坐标为和，点的坐标为，所以的面积为。第二试（B）一、解：不妨设，由已知等式可得①令，，则，其中，均为自然数。于是，等式①变为，即②由于，均为自然数，判断易知：使得等式②成立的，只有两组：和。（1）当，时，，。又，，为三角形的三边长，所以，即，解得。又因为三角形的周长不超过30，即，解得。因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形。（2）当，时，，。又，，为三角形的三边长，所以，即，解得。又因为三角形的周长不超过30，即，解得。因此，所以可以取值

7、2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形。综上可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为。二、与A卷第二题相同三、与A卷第三题相同第二试（C）一、与B卷第一题相同二、与A卷第二题相同三、解：由题意知，方程的两根，至少有一个为整数。由根与系数的关系可得，，从而有①（1）若，则方程为，它有两个整数根和。（2）若，则。因为为整数，如果，中至少有一个为整数，则，都是整数。又因为为质数，由①式知或。不妨设，则可设（其中为非零整数），则由①式可得，故，即。又，所以，即②如果为正整数，则，，从而，与②式矛盾。如果为负整数，则，，从而，与②式矛盾。因此，时，方

8、程不可能有整数根。综上所