2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

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1、2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.若均为整数且满足,则(B)激活中考教学网WWW.JHZK.NETA.1.B.2.C.3.D.4.2.若实数满足等式,,则可能取的最大值为(C)激活中考教学网WWW.JHZK.NETA.0.B.1.C.2.D.3.3.若是两个正数,且则(C)激活中考教学网WWW.JHZK.NETA..B..C..D..4.若方程的两根也是方程的根,则的值为(A)激活中考教学网WWW.JHZK.NETA.-13.B.-9.C.6.D.0.5.在△中,已知,D,E分别是

2、边AB,AC上的点,且,,,则(B)激活中考教学网WWW.JHZK.NETA.15°.B.20°.C.25°.D.30°.6.对于自然数,将其各位数字之和记为,如,,则(D)激活中考教学网WWW.JHZK.NETA.28062.B.28065.C.28067.D.28068.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知实数满足方程组则13.2.二次函数的图象与轴正方向交于A,B两点,与轴正方向交于点C.已知,,则.3.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA=,PC=5,则PB=______.激活中考教学网WW

3、W.JHZK.NET4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.激活中考教学网WWW.JHZK.NET第二试(A)一.(本题满分20分)设整数()为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得①令,则,其中均为自然数.于是,等式①变为,即②激活中考教学网WWW.JHZK.NET由于均为自然数,判断易知,使得等式②成立的只有两组:和(1)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,解

4、得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.(2)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.激活中考教学网WWW.JHZK.NET综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明

5、:PD是⊙I的切线.证明过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.激活中考教学网WWW.JHZK.NET因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC.又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.三.(本题满分25分)已知二次函数的图象经过两点P,Q.(1

6、)如果都是整数,且,求的值.(2)设二次函数的图象与轴的交点为A、B,与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数,求△ABC的面积.解点P、Q在二次函数的图象上,故,,激活中考教学网WWW.JHZK.NET解得,.(1)由知解得.又为整数,所以,,.(2)设是方程的两个整数根,且.由根与系数的关系可得,,消去,得,激活中考教学网WWW.JHZK.NET两边同时乘以9,得,分解因式,得.所以或或或解得或或或又是整数,所以后面三组解舍去,故.激活中考教学网WWW.JHZK.NET因此,,,二次函数的解析式为.易求得点A、B的坐标为(1,0)

7、和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以△ABC的面积为.第二试(B)一.(本题满分20分)设整数为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).解不妨设,由已知等式可得①激活中考教学网WWW.JHZK.NET令,则,其中均为自然数.于是,等式①变为,即②激活中考教学网WWW.JHZK.NET由于均为自然数,判断易知,使得等式②成立的只有两组:和(1)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件

8、的三角形.(2)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.综

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