2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

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1、智浪教育--普惠英才文库2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知为整数,且满足,则的可能的值有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答】C.由已知等式得,显然均不为0,所以=0或.若,则.又为整数,可求得或所以或.因此,的可能的值有3个.2.已知非负实数满足,则的最大值为()A.B.C.D.【答】A.,易知:当,时,取得最大值.3.在△中,,为的中点,于,交于,已知,,则=()A.B.C.D.【答】B.因为,,所以四点共圆,所以,又,所以,所以.又易知△∽△,所以,从而可得.4.5智浪教育--普惠

2、英才文库6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是()A.B.C.D.【答】B.若取出的3张卡片上的数字互不相同,有2×2×2=8种取法;若取出的3张卡片上的数字有相同的,有3×4=12种取法.所以,从6张不同的卡片中取出3张,共有8+12=20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长,只可能是:(2,4,4),(4,4,6),(2,6,6),(4,6,6),由于不同的卡片上所写数字有重复,所以,取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2=8种.因此,

3、所求概率为.5.设表示不超过实数的最大整数,令.已知实数满足,则()A.B.C.D.1【答】D.设,则,所以,因式分解得,所以.由解得,显然,所以1.6.在△中,,,,在上,在上,使得△为等腰直角三角形,,则的长为()A.   B.   C.    D.【答】A.过作于,易知△≌△,△∽△.设,则,,,,故,即.又,故可得.故.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知实数满足,,则____.【答】0.由题意知,所以5智浪教育--普惠英才文库整理得,所以0.2.使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为.【答】144.由条件得,由的唯一性,得且,所

4、以,所以.当时,由可得,可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.3.已知为等腰△内一点,,,为的中点,与交于点,如果点为△的内心,则.【答】.由题意可得,而,所以,从而可得.又,所以,从而.所以,,所以.4.已知正整数满足:,,,则.【答】36.设的最大公约数为,,,均为正整数且,,则,所以,从而,设(为正整数),则有,而,所以均为完全平方数,设,则,均为正整数,且,.又,故,即.注意到,所以或.若,则,验算可知只有满足等式,此时,不符合题意,故舍去.若,则,验算可知只有满足等式,此时,符合题意.5智浪教育--普惠英才文库因此,所求的.

5、第二试一、(本题满分20分)设实数满足,,求的值.解由已知条件可得,.设,,则有,,联立解得或.若,即,,则是一元二次方程的两根,但这个方程的判别式,没有实数根;若,即,,则是一元二次方程的两根,这个方程的判别式,它有实数根.所以.二.(本题满分25分)如图,在平行四边形中,为对角线上一点,且满足,的延长线与△的外接圆交于点.证明:.证明由是平行四边形及已知条件知.又A、B、F、D四点共圆,所以,所以△∽△,所以.又,所以△∽△,故.5智浪教育--普惠英才文库三.(本题满分25分)设是整数,如果存在整数满足,则称具有性质.在1,5,2013,2014这四

6、个数中,哪些数具有性质,哪些数不具有性质?并说明理由.解取,,可得,所以1具有性质.取,,可得,所以5具有性质.为了一般地判断哪些数具有性质,记,则=.即①不妨设,如果,即,则有;如果,即,则有;如果,即,则有;由此可知,形如或或(为整数)的数都具有性质.因此,1,5和2014都具有性质.若2013具有性质,则存在整数使得.注意到,从而可得,故,于是有,即,但2013=9×223+6,矛盾,所以2013不具有性质.5

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