2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

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1、2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．设，，且，则代数式的值为（）5.7.9.11.【

2、答】.解由题设条件可知，，且，所以是一元二次方程的两根，故，，因此.故选.2．如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为（）.4...【答】.解因为，，为三角形的三条高，易知四点共圆，于是△∽△，故，即，所以.在Rt△中，.故选.3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）....【答】.解能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其

3、中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共9页）所以所组成的数是3的倍数的概率是.故选.4．在△中，，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则（）...和的大小关系不确定.【答】.解∵，为的外角平分线，∴.又，∴，∴.又，∴，∴.因此，.故选.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（）....【答】.解容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.

4、设5种商品降价前的价格为，过了天.天后每种商品的价格一定可以表示为，其中为自然数，且.要使的值最小，五种商品的价格应该分别为：，，，，，其中为不超过的自然数.所以的最小值为.故选.6．已知实数满足，则的值为（）.2008..1.2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共9页）【答】.解∵，∴，，由以上两式可得.所以，解得，所以.故选.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设，则.解∵，∴，∴.2．如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，，则四边形的面积为解设正方形的中心为，连，则，,,∴.又，2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

5、第3页（共9页），所以△∽△，故，从而.根据对称性可知，四边形的面积.3．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则解根据题意，是一元二次方程的两根，所以，.∵，∴，.∵方程的判别式，∴.，故，等号当且仅当时取得；，故，等号当且仅当时取得.所以，，于是.4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是1.解到，结果都只各占1个数位，共占个数位；到，结果都只各占2个数

6、位，共占个数位；到，结果都只各占3个数位，共占个数位；到，结果都只各占4个数位，共占个数位；到，结果都只各占5个数位，共占个数位；此时还差个数位.到，结果都只各占6个数位，共占个数位.2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共9页）所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是的个位数字，即为1.第二试（A）一．（本题满分20分）已知，对于满足条件的一切实数，不等式（1）恒成立.当乘积取最小值时，求的值.解整理不等式（1）并将代入，得（2）在不等式（2）中，令，得；令，得.易知，，故二次函数的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式

7、（2）对于满足条件的一切实数恒成立，所以它的判别式，即.由方程组（3）消去，得，所以或.又因为，所以或，于是方程组（3）的解为或所以的最小值为，此时的值有两组，分别为和.2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共9页）二．（本题满分25分）如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.（1）证明：点在圆的圆周上.（2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值.解（1）连，因为为圆心，，所以△∽△，从而.因为，所以，所以，因此点在圆的圆周上.（2）设圆的半径为，的延长线交于点