积矩阵Schur分解的扰动界.pdf

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1、摘要几个矩阵的积来源于周期线性系统中，积矩阵的Schur分解是矩阵计算的重要工具之一．本文主要研究积矩阵Schur分解的扰动界．首先．我们新定义了一个算子和函数，并且分别论证了算子非奇异的充要条件和函数的敏感性．然后．我们给出了积矩阵Schur分解的扰动方程．得到了积矩阵Schur因子的绝对和相对扰动界．并给出了相应的条件数，最后，我们用数值例子验证了本文的结论．关键词：积矩阵，Schur分解：扰动界，条件数ABSTRACTTheproductofseveralmatricesarisefromlinearperiodicsystems．The

2、matrixSchurdecompositionofproductmatricesisausefultoolformatrixcomputation．ThemaincontributionofthispaperistodiscusstheperturbationboundsoftheSchurdecomposi—tionofthematricesproduct．Firstly，wedefineanewoperatorandfunction，anddiscussthesufficientandnecessaryconditionofthenons

3、ingularityfortheoperatorandthesen—sitivityofthefunctionrespectivy．ThentheperturbationequationsoftheSchurdecompositionofthematricesproductaregiven?theabsoluteandrelativeperturbationboundsofSchurfactorsofthematricesproductisobtained．Theabsoluteandrelativeperturbationboundsofth

4、eSchurfactorsandthecorrespondingconditionnumberaregiven．Finally：twonumericalexamplestovalidateourconclusionaregiven．KeyWords：productmatrices，Schurdecomposition，perturbationbound，conditionnumber摘要ABSTRACT1前言2算子L和函数f({T，，妒P，)3积矩阵Schur分解的扰动定理4数值例子参考文献致谢目录V¨UV241803i12Cm煳冗mmCn冗n

5、CA丁A4A——1IlIAll2IIAhIFIIxll。V∈AGB=(o巧B)vec(A)=(n}．-·low(A)diag(A)up(A)符号表所有m×n阶复矩阵的全体所有m×n阶实矩阵的全体所有复n维列向量的全体所有实佗维列向量的全体所有复数的全体矩阵A的转置矩阵A的共轭转置矩阵A的逆单位矩阵矩阵A的谱范数矩阵A的Froben．ius范数向量X的2一范数任意给定的元素属于Kronecker积o：)丁若A=[n11⋯，a。]矩阵A的严格下三角部分矩阵A的对角部分矩阵A的严格上三角部分§1前言在许多理论和计算问题中，矩阵的Schur分解都是非常

6、有用的工具[1l，16，24]．近几十年来．专家学者们利用Schur系统解决了许多数值线性代数和控制论中常见的问题，如计算矩阵指数．求解代数Riccati方程等[16：17，18]．几个矩阵积的研究主要源于系统与控制论中的时变控制系统．考虑如下的离散时间周期系统：昂+12‰+岛脚’p：l夸．(1．1)Yp=Cpxp+1+Dppp：其ep矩阵A。∈C唧+·xn，，B口∈C”，+，x”，G∈C似”，和Dp∈Cr×”是周期为P矩阵序列．系统的转移状态矩阵为nj×扎。阶矩阵虫A(J，i)=Aj一1Aj一2⋯A。．其中虫．4(i，i)=厶。，虫^(1+只

7、1)=APA尸一1⋯A1．一个周期的转移状态矩阵空A(i十P．i)∈Cm黼t称为(1．1)的单值矩阵．自二十世纪九十年代以来，随着航空航天，计算机网络和受限机器人等研究领域的飞速发展!线性周期系统引起了科研人员的特别关注．由于离散时间周期系统在理论和实践中的重要意义，因此是控制论研究领域的重要课题之一(『1，3，8，15])．众所周知，系统f1．I)的动态特征性与其单值矩阵的特征值有关，单值矩阵的特征值问题也倍受关注．文献f21对积矩阵的特征值做了扰动分析j文献【9]给出了积矩阵在Schur分解下的特征值的重排序方法，文献『231得到了周期收缩

8、子空间的扰动界．然而对于积矩阵Schur分解的扰动分析工作还非常的少．AdamBojanczyk等人最早提出了关于这类积矩阵的Schur分解，并给出了