Kronecker积与加权延拓矩阵的奇异值分解.pdf

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1、第17卷第2期贵州教育学院学报（自然科学）VoI.17.No.22006年4月JournaIofGuizhouEducationInstitute（NaturaIScience）Apr.2006Kronecker积与加权延拓矩阵的奇异值分解＊聂祥荣（毕节学院计科系贵州毕节551700）摘要：利用Kronecker积的性质得到加权延拓矩阵的奇异值分解与原矩阵（母矩阵）的奇异值分解的定量关系。文［1］的结果是其自然推论。关键词：Kronecker积；加权延拓矩阵；奇异值分解中图分类号：0151.21文献标识码：A文章编号：100

2、2—6983（2006）02-0010-04KroneckerproductandsingularValuedecompositionofweightedextendedmatrixNIEXiang-rong（DepartmentofComputer，BijieUniversity，Bijie，Guizhou551700，China）Abstract：TheprecisereIationshipbetweenthesinguIarvaIuedecompositionsofaweightedextendedmatrixandi

3、tsoriginaImatrixisderivedbyusingthepropertiesofKroneckerproduct.AndtheresuItofpaper［1］isthoughttobeaninferenceinthispaper.Keywords：Kroneckerproduct；weightedextendedmatrix；singuIarvaIuedecomposition矩阵延拓及其奇异值分解在时频分布、信号元素为j1m=j2m-1=⋯=jm1=1，而其余元素为零处理、城市建筑、装饰工程等具有对称特性的现

4、象的方阵，k是任意给定的正整数。［1］研究中有着广泛应用。文［1］对具有行或列（不定义1（行加权延拓）设a1一0，a2，⋯，ak。R，称变）对称结构的矩阵（称之为延拓矩阵）与其原矩éa1Aù阵的奇异值分解建立了相应的定量关系（文中定êa2Aú（k）理1），大大降低了具有该类结构的矩阵奇异值分矩阵êú为矩阵A关于有序数组!=（a1，a2，êsú解的计算量和存储量。但，一是对于左奇异向量ëûakB（酉因子）P中的块P2未给出实质上的计算式；二⋯ak）的第一类k次行加权延拓矩阵，记为是未考虑到现实中这类对称结构的衰减或增强。鉴于目

5、前尚未有文献记载相关的进一步结果，本文将R!（k（）A）。延拓矩阵的概念进行了加权推广，并利用éa1AùKronecker积得出延拓矩阵与其原矩阵奇异值分解êa2Bú而矩阵R!（k）（'A）=êú，其中B=]mA，称为矩的较为一般的定量关系，从而完善文［1］的结果。êsúëûakB1加权延拓矩阵的定义及其与（k）阵A关于!=（a1，a2，⋯ak）的第二类k次行加权Kronecker积的关系延拓。mXImXm以下均假定A。F，]m。R是交叉对角线上类似地，可定义矩阵A的列加权延拓矩阵：＊收稿日期：2005-12-09作者简介：

6、聂祥荣（1963-），男，副教授，主要研究方向：矩阵分析及群论。10第2期聂祥荣：KrOiecker积与加权延拓矩阵的奇异值分解［2］mXnpXg定义2（列加权延拓）称矩阵C!（I（）A）=引理l若A。F，B。F的奇异值分解分别为HH［alAa2A⋯aIA］和C!（I）（'A）=［alAa2B⋯aIB］，其A=UlDlVl，B=U2D2V2，A与B的正奇异值分别为（I）中B=An，分别为A关于!=（al，a2，⋯aI）的al，a2，⋯，ar与6l，62，⋯，6S，则A③B的正奇异值为第一类I次列加权延拓和第二类I次列加权延拓

7、。al6l，al62，⋯al6S，a26l，a262，⋯a26S，⋯ar6l，ar62，易见，A的加权延拓矩阵与KrOiecker积有如⋯ar6S，且H下关系：A③B=（Ul③U2）（Dl③D2）（Vl③V2）éalù是A③B的奇异值分解。êaú引理2设B=A，若A的奇异值分解为A=UDVH，2mR!（I（）A）=êú③A，Hêsú则B的奇异值分解为B=（mU）DVêúëaû证明只需mU是酉矩阵即可。事实上IHHHHC!（I（）A）=［ala2⋯aI］③A.（mU）（mU）=U（mm）U=UU=.T引理3列矩阵!=（al，a

8、2，⋯aI）的奇异值分解为H2加权延拓矩阵的奇异值分解!=UlDlVl，其中éal-ala2-ala3-alaIù⋯⋯⋯⋯êIa2a2+a2a2+a2a2+a2+a2I-lIúêza2!l!l2!l2!l23za2a2úiiziê!i=l!i=l!i=lúêú2êa2!al-a2a3-a2