克罗内克(Kronecker)积及其应用.pdf

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1、第VI章克罗内克（Kronecker）积及其应用6．1Kronecker积6．1．1Kronecker积的概念m×np×q定义1—1设A=(a)∈c,B=(b)∈c,则称如下的分块矩阵ijija11Ba12BLa1nBaBaBLaB21222nmp×nqA⊗B=∈CLLLLaBaBLaBm1m2mn为A的克罗内克（Kronecker）积，或称A与B的直积，或张量积，简记为A⊗B=(aB),即A⊗Bijm×n是一个m×n块的分块矩阵，最后是一个mp×nq阶的矩阵。abx例1—1设A=,B=,那么cd

2、yaxbxaBbBaybyA⊗B==cBdBcxdxcydy4×2xaxbacbxxAxcxdcxdxB⊗A===yAyaybaybyycydcydy4×2由这个例子可以看出，A⊗B与B⊗A一般不是同一矩阵，即Kronecker积不满足交换律，但它们的阶数是相同的。对单位矩阵，有I⊗I=I⊗I=Inmmnmn6．1．2Kronecker积的性质不难验证，矩阵的Kronecker积满足下列运算律：11．k(A⊗B)=kA⊗B=A⊗kB,k∈c；

3、2．分配律(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C;3．结合律(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C).下面我们来研究Kronecker积的另一个重要性质，这条性质对进一步研究Kronecker积有着重要的作用。定理1—1设A=(a),B=(b),C=(c),D=(d),则ijm×nijs×rijn×pijr×t(A⊗B)(C⊗D)=AC⊗BD（1—1）证因为(A⊗B)(C⊗D)=(aB)(cD)ijijn=(∑aikckjBD)=((AC)ijBD)k=1=AC⊗BD式中（AC）ij是矩阵AC中第i行第j列的元素。证毕推论若A=(a),B=(b),则ijm×

4、mijn×nA⊗B=(A⊗I)(I⊗B)=(I⊗B)(A⊗I)nmmn定理1—2设A=(a),B=(b),则ijm×nijp×qTTT(A⊗B)=A⊗B（1—2）HHH(A⊗B)=A⊗B（1—3）证因为Ta11BLa1nBTT(A⊗B)=(aB)=MMijaLaBm1mnTTaBLaB11m1TT=MM=A⊗BaBTLaBT1nmnHHH同理可证(A⊗B)=A⊗B。证毕2定理1—3设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则A⊗B也为可逆矩阵，且−1−1−1(A⊗B)=A⊗B（1—4）证由式（1—1）有−1−

5、1−1−1(A⊗B)(A⊗B)=(AA⊗BB)=I⊗I=Imnmn−1−1−1即(A⊗B)=A⊗B证毕由式（1—2）、（1—4）可见，对于Kronecker积，转置和求逆的反序法则不再成立，这也是与通常的矩阵乘法的主要区别之一。定理1—4设A=(a),B=(b),则ijm×nijp×qrank(A⊗B)=rank(A)rank(B)（1—5）证设A与B的标准形为A1与B1，即ＭＡＮ＝Ａ１，ＰＢＱ＝Ｂ１（１—6）其中Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ分别为ｍ阶、ｎ阶、ｐ阶和ｑ阶非奇异矩阵，且11OO11A1=，B1=0

6、0OO00A中数1的个数为rank（A），B中数1的个数为rank（B）。11由式（1—6）有−1−1−1−1A=MAN，B=PBQ11于是，由式（1—1）有−1−1−1−1A⊗B=(MAN)⊗(PBQ)11−1−1−1−1=(M⊗P)(A⊗B)(N⊗Q)11−1−1−1−1由定理1—3知，M⊗P,N⊗Q均为非奇异矩阵，故3rank(A⊗B)=rank(A⊗B)11而A⊗B的秩为rank(A)rank(B)，于是11rank(A⊗B)=rank(A)rank(B)证毕定理1—5设λ,λLλ是A的m个特征值

7、，µ,µ,Lµ是B的p个特征值，那12mm×n12pp×p么A⊗B的mp个特征值为λµ(i=1,2L,m;j=1,2.L,p).ij证由第三章§2知，A与B一定与Jordan标准形相似，即存在可逆矩阵P与Q，使得λ∗µ1∗−1−1PAP=J=O,QBQ=J=O120λ0µmp即有λ∗µ1∗−1−1A=.POP,B=QOQ0λ0µmp从而由式（1—1）有λ1∗µ1∗−1−1A⊗B=(P⊗Q)(O⊗O)(P⊗Q)0λ0µmp

8、µ∗1λO∗10µp−1=(P⊗Q)O(P⊗Q)µ∗10λOm0µp即有4λ1µ1*O