Drazin逆的Kronecker积的基本性质和奇异值分解.pdf

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1、第29卷第2期长春理工大学学报Vol.29No.22006年6月JournaiofChangchunUniversityofScienceandTechnoiogyJun.2006Drazin逆的Kronecker积的基本性质和奇异值分解赵鸣霖，王再玉（长春理工大学理学院，长春130022）摘要：本文主要利用Drazin逆和Kronecker积，证明了Drazin逆的Kronecker积的基本性质，并由此给出了Drazin逆的Kronecker积的奇异值分解式。关键词：Drazin逆；Kronecker积；奇异值分解中图分类号：O151.21文献标识码：A文章编号：1672-9870（

2、2006）02-0110-02KroneckerProduct'stheElementaryPropertiesofDrazinInverseandtheResolutionofSinKrogularValuesZHAOMingiin，WANGZaiyu（ChangchunUniuersityofScienceandTechnology，Changchun130022）Abstract：TheDrazininverseandkroneckerproductweredisscusedinthispaper.ItaisoshowsthebasedpropertiesofDrazininve

3、rseandKroneckerproductandtheirresoiutionofsinguiarvaiues.Keywords：Drazininverse；Kroneckerproduct；resoiutionofsinguiarvaiues1958年，Drazin定义了方阵的一类广义逆，1Drazin逆的Kronecker积的基本性质后称为Drazin逆。设AECn>n，若存在XECn>n满足如下三个方［1］m>nI>lp>g引理1设AEC，BEC，CEC，r>s程DEC，且n=I，g=r，则IIAXA=A（AC）（BD）=ABCD［1］m>np>gXAX=X引理2设AEC，BE

4、C，则AX=XAHHH（AB）=AB则称矩阵X为A的Drazin逆，记为AD，其中I是［1］m>nI>lp>g引理3设AEC，BEC，CEC，II+1A的指数，是使得rankA=rankA的最小非负整则数。（AB）C=A（BC）易知，定义中的A是非奇异的，则I=0，并［1］n>nD定理1对于任何AEC必存在唯一的A约定A0=I，从而AD=A-1。n>nEC定义中的三个方程分别等价于由引理1和定理1，有如下定理AX=XAn>nm>m定理2设AEC，BEC，则AI+1X=AIDDD（AB）=ABAX2=XDD证明本定理即证AB为AB的Drazin逆。当AD的定义中A的指数为1时，即得到AD

5、的特DD由Drazin逆的唯一性，只需验证AB满足##例，称为A的群逆，记为A。A在统计学中有着方程（1）即可，即应用。（AB）（IADBD）（AB）IIDD=（AB）（AB）（AB）收稿日期：2006-03-22作者简介：赵鸣霖（1943-），男，教授，主要从事矩阵理论的研究和教学工作。第2期赵鸣霖，等：Drazin逆的Kronecker积的基本性质和奇异值分解lllDDm>mr2>r2（m-r2）>（m-r2）=AAABBB=AB0ECm，C2ECr2，N2EC，DDDD=（AB）（AB）（AB）（AB）Nl和N2皆是指数为k的幂零矩阵，是不大于IDDDDDD=AAABBB=AB和

6、m的某个非负整数。DDD［l］=（AB）（AB）故由A的定义可得=AADBBD=ADABDB-l-lDCl0-lDC20-lA=PP，B=00=（ADBD）（AB）()()0000DD故得证AB是AB的Drazin逆，从而有：从而有DDD（AB）=ABC-lC-lDDl-l2-l再由归纳法及引理3，可得AB=P()P0()000II推论（A）D=AD-l-lClC2-l=l=l=（P0）（()()）（P0）I>Im>m定理3设AEC，BEC，则00DDHDHDH-l-l（AB）=（A）（B）ClC2D而(0)(0)的秩为rl>r2，于是得证证明设A=（ai）I>I，则得DDHDDDDæ

7、allB⋯alIBörank（AB）=rankA·rankBDDHç÷（AB）=i-içç÷÷2Drazin逆的Kronecker积的奇异值DDèaIlB⋯aIIBø分解aDHDHæl（lB）⋯aI（lB）öI>IDHDç÷DHDH设AECr（r>0），若（A）A的特征值为=i-i=（A）（B）çç÷÷+++++èaDHDHø!lB!2B⋯B!r>!r+l=⋯=!I=0l（IB）⋯aI（IB）++D定理4设AECI>I，BECm>m则则称"i=