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1、第27卷第3期广东工业大学学报Vo.l27No.32010年9月JournalofGuangdongUniversityofTechnologySeptember2010延拓矩阵半正定因子的扰动界文伟(茂名职业技术学院基础部,广东茂名525000)摘要:母矩阵为A的行延拓矩阵Rk(A)与其扰动矩阵Rk(A)的半正定因子分别是H与H,利用奇异值分解的方法,给出了延拓矩阵Rk(A)在Frobenius范数下半正定因子的扰动界.关键词:半正定因子;延拓矩阵;Frobenius范数;
2、奇异值分解;扰动界中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:10077162(2010)03001904*10V11预备知识*A=(U1,U2)*=U11V1,(1)00V2奇异值分解是线性代数最重要和最有用的工具HH0V1H之一,它在统计计算、信号与图像处理、控制理论等Rk(A)=PTQ=(P1,P2)=P1V1,H00V2领域有广泛应用,但奇异值分解的严重不足之处是(2)其巨大的计算量和存储量.如果矩阵的维数比较大,~~H且矩阵是由某一个维数比较小的矩阵(
3、称为母矩H0V1~~HRk(A)=PTQ=(P1,P2)~=PV1,H阵)经过一系列变换后得到的,具有行或列对称性00V2时,则称为延拓矩阵.(3)邹红星教授在文献[12]中对延拓矩阵的奇异mnnn其中U=(U1,U2)C,V=(V1,V2)C,P=(P1,值分解进行了研究,蔺小林教授在文献[3]中对酉kmkmkmkmP2)C、P=(P1,P2)C都是酉矩阵,U1延拓矩阵的奇异值分解及其广义逆进行了研究.在mrmr1kmrkmr有关矩阵理论及其扰动分析理论的文献中,未见有Cr,V1Cr,
4、P1=RkU1Cr,P1Cr,k关于延拓矩阵半正定因子理论的研究.本文在文献1=diag(1,2,!,r),且1∀2∀!∀r>0;=[13]的基础上,主要研究延拓矩阵在奇异值分解下~diag(!1,!2,!,!r),!i=ki,i=1,2,!,r;=半正定因子的扰动界.[1]mndiag(!1,!2,!,!s),且!1∀!2∀!∀!s>0.则Q=定义1设AC,定义矩阵H~HAP1V1称为矩阵Rk(A)的次酉矩阵,Q=P1V1称为矩A阵Rk(A)的次酉矩阵.kmnRk(A)=C,[5]s
5、stt引理1设∀C和#C是两个HerstAmite矩阵和E,FC.如果∃(∀)I∃(#)=,那st矩阵Rk(A)称为A的k次行延拓.么∀X-X#=∀E+F#有唯一解XC,并且有[1]mn22定义2设AC,定义矩阵#E#F+#F#Fmkn#X#F∃,Ck(A)=(A,A!,A)C,%矩阵Ck(A)称为A的k次列延拓.
6、∃-∃
7、其中%=min.∃(∀),∃(#)22由文献[4]可得:
8、∃
9、+
10、∃
11、kmnmm设母矩阵为A的行延拓矩阵Rk(A)Cr,引理2设U=(U1,U2)C和V=
12、(V1,kmnnnmrnsRk(A)的扰动矩阵Rk(A)Cs,A、Rk(A)和V2)C是酉矩阵,其中U1C,V1C,r∃mnRk(A)的奇异分解和极分解分别为m和s∃n.那么对矩阵EC本文有收稿日期:20100303作者简介:文伟(1962),男,高级讲师,主要研究方向为矩阵理论.20广东工业大学学报第27卷2*2*2~~~~#E#F=#U1EV1#F+#U1EV2#F+#H-H#2V**2*2F=#1V1-V1V1#F+#V2V1#F+*2*2#U~
13、~*2*2*~2*22EV1#F+#U2EV2#F.#V1V2#F∃#P1EV1#F+#P1EV1#F+#P1EV2#F+证明因为~*22**#P1EV2#F∃2#E#F,*U1EV1U1EV2UEV=,故定理成立.**U2EV1U2EV2mkn推论1设Ck(A)Cr是母矩阵A的k次那么由Frobenius范数得结论成立.mkn列延拓,Ck(A)=Ck(A)+ECr,且Ck(A)=2定理证明QH和Ck(A)=QH分别为矩阵Ck(A)和Ck(A)的kmn极分解.则对Frobeniu
14、s范数#%#F,有定理1设Rk(A)Cr是母矩阵A的第一kmn#H-H#F∃2#E#F.类k次行延拓,Rk(A)=Rk(A)+ECr,A、kmn定理2设Rk(A)Cr是母矩阵A的第一Rk(A)、Rk(A)的奇异值分解如式(1)~(3)所示,*kmn类k次行延拓,Rk(A)=D1Rk(A)D2Cr,A、且Rk(A)=QH和Rk(A)=QH分别为矩阵Rk(A)Rk(A)、Rk(A)的奇异值
