实对称矩阵正定、半正定的简易判别

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1、目录1.引言12.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法12.1实对称矩阵的几个定义12.2实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法:12.3实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。32.3.1阶实对称矩阵正定的充分必要条件是合同于单位矩阵.42.3.2元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。52.4实对称矩阵半正定的几个充分必要条件。52.4.1二次型，其中，半正定。52.4.2阶实对称矩阵是半正定矩阵的充分必要条件是的正惯性指数等于它的秩。52.4.3阶对称矩阵是半正定矩阵的充分必要条件是的特征值全大于等于零，

2、但至少有一个特征值等于零。52.4.4实对称矩阵的所有主子式皆大于或等于零。52.4.5有实矩阵使，则半正定。52.4.6阶对称矩阵是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵合同。53.利用合同变换原理推出的降阶法判别实对称矩阵的正定与半正定。54.实对称正定矩阵的另一个充分必要条件85.实对称矩阵为正定的充分性的判别法.96.实对称矩阵半正定的一个新依据117.实对称矩阵的一个简单应用132参考文献16致谢172实对称矩阵正定、半正定的简易判别摘要：实对称矩阵是矩阵论中的一个重要概念，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其他课程里，

3、如计算机、医学成像，空间二次曲面等领域中也有重要应用。为了更好地用实对称矩阵来解决问题，本文主要讨论实对称矩阵正定性、半正定性的若干判别方法和简单应用，并对其做进一步的探讨。关键词：实对称矩阵，正定，半正定，二次型，简易判别。Realsymmetricmatrixpositivedefinite,positivesemidefiniteTheDiscriminantNumberofclassesofthe0701WangChunmiaoTutor:CaoChunjuanAbstract:Therealsymmetricmatr

4、ixisanimportantconceptinmatrixtheory,notonlyinadvancedalgebrahasimportantapplicationsinothercurriculum,suchascomputer,medicalimaging,spaceandotherareasofthesecondsurfacealsohasimportantapplications.Inordertobetterusetherealsymmetricmatrixtosolvetheproblem,thispaperf

5、ocusesonrealsymmetricmatrixpositivedefinite,semi-positivedefiniteidentificationmethodsandanumberofsimpleapplications,anditsfurtherdiscussion. Keywords:realsymmetricmatrix,positivedefinite,positivesemidefinite,quadratic,simplediscrimination. 21引言实对称矩阵正定、半正定的判别问题,实际上就

6、是二次型函数的正定性、半正定性的判别问题,因此我们也可把问题转化到判断二次型函数的正定性、半正定性的问题。或者也可以根据其他方法如合同变换等来判别。目前，实对称矩阵正定性、半正定性的判别已有多种方法,方法有繁有易。由于判断一个实对称矩阵为正定、半正定在实际工作中是很有必要。本文将列举一些比较简易的判别实对称矩阵正定性、半正定性的方法，对其中一部分判别方法进行证明，并加以举例说明。2实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法2.1实对称矩阵的几个定义定义1：设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果有>，那么称为正定。定义2：设

7、是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果有，那么称为半正定。定义3：设二次型，其中,若正定或半正定，则称为正定或半正定矩阵。定义4：合同变换的定义：设如果存在非奇异矩阵，使得则称和合同，这种变换称为合同变换。对称矩阵经合同变换后仍为对称矩阵。2.2实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法:在实际应用和理论研究中,判别一个实对称矩阵是否正定是很重要的。到目前为止,判别一个实对称矩阵=，为正定的充分必要条件有下列四种方法：的所有特征值都大于0.16的分解存在,其中是三角形矩阵,是的转置矩阵,=1是的主对角线元素,且>.的分

8、解存在,其中是三角形矩阵,=1是的主对角线元素,是以>0为主对角线元素的对角线矩阵。在不选主元素的高斯消去法中,的主元素都大于.现举一例如下,说明上述四种方法的应用。例判别实对称矩阵=的正定性。解：1.的特征多项式为==所以的特征值：，都是正数，故是正定的。2.设=，则==若