正定矩阵的判别方法及其应用论文

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1、毕业论文题目正定矩阵的判别方法及其应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名周永辉班级11级数应1班学号指导教师董芳芳讲师提交日期2015/5/12原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名:年月日论文指导教师签名:正定矩阵的判别及其应用周永辉(天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,天水,74100)摘要本文从正定矩阵的定义出发，给出

2、了矩阵正定性的一些判别方法，并得到了正定矩阵的一些应用.关键词矩阵；正定性；判别；应用MethodsandtheapplicationsofthejudgmentofpositivedefinitematrixYonghuizhou(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,Tianshui,China)AbstractInthispaper,SomeMethodsofjudgementmatrixaregivenbythedefiniteandsomeapplicationareobtained.

3、KeyWordsmatrix；positivedefiniteness；method；application目录一引言及预备知识-1-二正定矩阵的判别方法-1-三正定矩阵的应用-8-3.1用正定矩阵的定义证明一些结论-8-3.2在矩阵中的应用-9-3.3正定矩阵在行列式中的应用-10-3.4用正定矩阵证明不等式-10-3.5判断多元函数的极值问题-10-小结-11-参考文献-12-致谢-13-数学与统计学院2015届毕业论文-2-数学与统计学院2015届毕业论文正定矩阵的判别方法及其应用一引言及预备知识中，二次型的定义与简单性质，本文对矩阵的性定义1设.若正定,引理1退化

4、线性替换引理2设是阶使得(1)其中为的特征值.二正定矩阵的判别方法定理1阶阶矩阵,使得.证(充分性)因为是为阶假设阶实可逆()，又，有,全部大于零，故是正定矩阵.(必要性)因为，使.即，其中.-13-数学与统计学院2015届毕业论文定理2阶的式全大于零.证(必要性)首先，若矩阵，使.即，其中..其次讨论二次型，让最后的的二次型，对此，下列结论显然成立：（1）正定正定；（2）的矩阵恰好是的矩阵的阶主子矩阵.所以有.(充分性)设阶的.特别地，.取上三角可逆阵,则有,其中，是（n-1）阶.对矩阵，，进行如下的分块，,其中，，，分别是矩阵，，的-阶主子矩阵，且仍可逆矩阵.则有.从

5、而,大于零.由与的关系，的.现在用第二数学归纳法来证明矩阵的阶数:-13-数学与统计学院2015届毕业论文合同于阶单位矩阵，从而合同于对角形，于是阶是正定矩阵.定理3的全大于零.证由定义1和定义2可证.例1.解矩阵的：，所以矩阵是正定矩阵.例2当取何值时，二次型是正定的.解二次型对应的矩阵为,而矩阵对应的：是的所以.故当时，二次型正定.定理4阶列满秩矩阵，使得.证(充分性)因为矩阵-13-数学与统计学院2015届毕业论文只有零解。对，则，有大于零,从而正定.(必要性)由，使得,可逆矩阵当然，而矩阵是可逆矩阵的不成立，即是定理5阶三角阵，使得.证(必要性)，使得.由是阶，,

6、其中(充分性)因为，所以有，即与合同，由定理1可知正定.定理6若是，则是均.证(必要性)假设均大于零.而，的都大于(充分性)：；，且均为使得；-13-数学与统计学院2015届毕业论文，其中（）,则===，令，得，可知，是可逆阵,则，其中的特征值均大于零.综上可知，-13-数学与统计学院2015届毕业论文例3判断矩阵解将矩阵作如下分块：，其中矩阵：.从而矩阵定理7阶是是阶，使得（为任意正整数）.证(充分性)因为是，使得；其中，所以有，.则，所以是正定的.(必要性)因为，使得，其中是正定矩阵的特征值，所以-13-数学与统计学院2015届毕业论文.令，由上式可得是正定矩阵，且.

7、定理8阶为半正定且.证(必要性)因为，所以有，肯定成立，故一定半正定，且.(充分性)设的为由题目可知，，于是，又因为，所以.由定理4可知正定.定理9大于零.证(必要性)分别为，且.由引理2存在正交矩阵使得（1）式成立.令则，即为矩阵的对应于特征值的特征向量.特别的，取单位特征向量，即.于是有，这与矩阵为正定矩阵相矛盾，所以的所有特征值为均大于.(充分性)设的特征值为，由引理2知存在正交矩阵，使.从而有.任取，则有，其中，于是，从而为正定矩阵.-13-数学与统计学院2015届毕业论文例4若矩阵，求的特征值，并求出正定矩阵，使得.