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1、论文题目：矩阵的正定性及其应用学生姓名：学生学号：专业班级：学院名称：2011年4月6日矩阵的正定性及其应用摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．关键字：矩阵实矩阵正定性应用Matrix'squalitativeanditsapplicationAbstractMatrixisqualit
2、ativecanfromsolidmatrixandcomplexmatrixtwoaspectselaborated,duetocomplexmatrixmoretediousandsomepropertiesofcomplexmatrixcanhaveamatrixonget,sohereismainlyexpoundsthematrixisqualitativeandapplication.Basedontheintroductionofamatrixofthedefinitionandisqualitativeidentification
3、method,simplecitedsomeexamplestodescribedtheapplicationofmatrixisqualitative.Keywords:matrix；realmatrix；qualitative；application目录摘要-----------------------------------------------------------2Abstract-------------------------------------------------------3一、二次型有定性的概念----------
4、----------------------5二、矩阵正定性的一些判别方法-----------------------5三、几个简单的例题--------------------------------------7四、实矩阵正定性的一个简单应用--------------------8结语-----------------------------------------------------------10参考文献-----------------------------------------------------11致谢-------
5、----------------------------------------------------12一、二次型有定性的概念定义1具有对称矩阵之二次型(1)如果对任何非零向量,都有（或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.(2)如果对任何非零向量,都有（或）成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次
6、型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、矩阵正定性的一些判别方法定理1设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.定理2对角矩阵正定的充分必要条件是.定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.定理4为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数定理5矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵,使.即合同。推论1若为正定矩阵,则.定理6秩为的元实二次型,设其规范形为则：(1)负定的充分必要条件是且(即负定二次型,其规范形为)(2)半正定的充分必要条件是(即半正定二次型的规范形为)(3)半负定的充分必要条件是(即)(4)不定的充分必要条件是
7、(即)定义2阶矩阵的个行标和列标相同的子式称为的一个阶主子式.而子式称为的阶顺序主子式.定理7阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.注：(1)若是负定矩阵，则为正定矩阵,。(2)是负定矩阵的充要条件是：其中是的阶顺序主子式.(3)对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵是半正定（半负定）的;b.的所有主子式大于（小于）或等于零；c.的全部特征值大于（小于）或等于零.三、几个简单的例题：例1设M是n阶实对称矩阵,则必存在正实数t,使得tI+M为正定阵，其中I是单位矩阵。证明：矩阵正定的充要条件:对任意x不等于0向量,有
8、X'MX>0，X'(TI+M)X=TX'X+X'MX，在所有的X中选一个X,使X'MX的值最小,X'MX=-MAX,其中MAX>0，而这
