矩阵的有定性及其应用

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1、矩阵的有定性及其应用摘要：矩阵的有定性是矩阵论中的一个重要概念,二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性，而在本文中，主要讨论阐述的是实矩阵的正定性，半正定性以及它们的实际应用.本文在介绍实矩阵的正定性，半正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性及半正定性的应用.全文分三章,第一章,矩阵的正定性及半正定性的定义．在第二章,正定性矩阵和半正定性矩阵的判别方法,第三章，在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．关键字：矩阵实矩阵正定性半正定性应用一、二次型有定性的概念设是一个数域,,

2、个文字的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型,简称二次型.当为实数时,称为实二次型.当为复数时,称为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即称为标准型.定义1二次型可唯一的表示成其中,,为对称矩阵,称上式二次型的矩阵形式,称为二次型的矩阵(都是对称矩阵),称的秩为二次型的秩.定义2具有对称矩阵之二次型(1)如果对任何非零向量,都有（或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.(2)如果对任何非零向量,都有（或）成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.二次型

3、的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、矩阵正定性及半正定性的一些判定方法1）矩阵正定性的一些判别方法定理1设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.定理2对角矩阵正定的充分必要条件是.定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.定理4为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数定理5矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵,使.即合同。推论1若为正定矩阵

4、,则.定理6秩为的元实二次型,设其规范形为则：(1)负定的充分必要条件是且(即负定二次型,其规范形为)(2)半正定的充分必要条件是(即半正定二次型的规范形为)(3)半负定的充分必要条件是(即)(4)不定的充分必要条件是(即)定义2阶矩阵的个行标和列标相同的子式称为的一个阶主子式.而子式称为的阶顺序主子式.定理7阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.注：(1)若是负定矩阵，则为正定矩阵,。(2)是负定矩阵的充要条件是：其中是的阶顺序主子式.(3)对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵是半正定（半负定）

5、的;b.的所有主子式大于（小于）或等于零；c.的全部特征值大于（小于）或等于零.以上是几种常规的判别正定矩阵的方法，在这里还要介绍一种利用矩阵分解法判定矩阵正定性的方法：先给出几个引理及其证明,然后在此基础上逐步得到一种形式较简便的判断实对称矩阵是否正定的方法,并推出了将n阶实对称矩阵A分解为特殊三角矩阵与对角矩阵的乘积的具体计算公式。引理1任一正定对称矩阵的顺序主子矩阵也是正定对称矩阵。证:设n阶正定实对称矩阵为A,它的s阶顺序主子矩阵为AS(1≤s≤n)易知AS是一对称方阵。再设X是任一s维零实向量,N维向量Y=[X',O']

6、.易X'ASX=Y'AY因为A是正定实对称矩阵并且Y≠0,从而有X‘ASX=Y’AY>0又X是任一s维非零实向量,所以知AS也是正定对称矩阵。引理2设s(或t)特殊下(或上)三角方阵P左(或右)乘一个s×t阶矩阵A得矩阵B,则矩阵A,B的r阶(1≤r≤sin(m,n))顺序主子式相等。引理3设n阶对称矩阵A的顺序主子式均不为零，则存在特殊下三角方针P和主对角线上元素均不为零的对角矩阵D使得A=PDP'由以上三个引理立刻得到下面非常有用的结论:定理n阶实对称矩阵A正定的充要条件是存在特殊上或下三角方阵P,主对角线上元素均为正数的对角

7、矩阵D,使得A=PDP'证明先证必要性.因为A是n阶正定实对称矩阵,由引理1知,它的各阶顺序主子矩阵也是正定对称矩阵.又任一正定实对称矩阵都是非奇异的,所以A的各阶顺序主子式均不为零并且均大于零。由引理3知,对于对称矩阵A一定存在特殊下三角方阵P,主对角线上元素均不为零的对角矩阵D,使得A=PDP'并由引理2知D的主对角线上所有元素di>0(i=1,2,n)再证充分性.假设对n阶实对称矩阵A,存在一特殊下三角方阵P以及主对角一上元素均为正数的对角矩阵D,使得A=PDP'则因D的主对角线上元素di>0(i=1,2,…,n)，从而由引

8、理2知A的各阶顺序主子式均大一地零,所以知A是一n阶正定实对称矩阵。由此定理可得到一种判定一n阶实对称矩阵A是否正定的方法:将A分解成上述定理中形式,即A=PDP'然后,观察D的主对角线是否全为正数.若是,则A正定;又由引理2知,若D的主对角线上元