《论文_矩阵的正定性及其应用论文(定稿)》

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1、论文题目：矩阵的正定性及其应用学生姓名：学生学号：专业班级：学院名称：2011年4月6日矩阵的正定性及其应用摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念，木文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用•本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判別方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章，在第一章，矩阵的正定性的定义•在第二章，正定性矩阵的判别方法，在本文的最后给出了几个正定性炬阵的应用实例.关键字：矩阵实矩阵正定性应用Matrix'squalitativeanditsapplicationAbstractMatrixisqualita

2、tivecanfromsolidmatrixandcomplexmatrixtwoaspectselaborated,duetocomplexmatrixmoretediousandsomepropertiesofcomplexmatrixcanhaveamatrixonget,sohereismainlyexpoundsthematrixisqualitativeandapplication.Basedontheintroductionofamatrixofthedefinitionandisqualitativeidentificationme

3、thod,simplecitedsomeexamplestodescribedtheapplicationofmatrixisqualitative.Keywords:matrix；realmatrix；qualitative；application目录摘要2Abstract3一、二次型有定性的概念5二、矩阵正定性的一些判别方法5三、几个简单的例题710四、实矩阵正定性的一个简单应用8结语参考文献11致谢12一、二次型有定性的概念定义1具有对称矩阵a之二次型f=XSX,（1）如果对任何非零向量X,都有X7AX>0（或X7AX<0）成立，则称f=XT

4、AX为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）.（2）如果对任何非零向量X,都有XtAX>0（或XtAX<0）成立，且有非零向屋X。，使X（）Sx（）=O,则称f=XTAX为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）.；主：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及具矩阵的有定性•不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性Z间具有一一对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称炬阵的正定性判别.二、矩阵正定性的一些判别方法定理1设4为正定矩阵，若（A与3合同），则3也是正定矩阵.定理

5、2对角矩阵D=diag（d,2，・・・，d"止定的充分必要条件是ds>0（?=l,2,---,n）.定理3对称矩阵A为止定的充分必要条件是它的特征值全大于零.定理4A为正定矩阵的充分必要条件A的正惯性指数定理5矩阵A为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C,使A=CtC.即A与£合同。推论1若A为正定矩阵，则IAI>0.定理6秩为z•的〃元实二次型"AX,设其规范形为则：（1）/负定的充分必要条件是-0,且r（即负定二次型，其规范形为—…-刃（2）f半止定的充分必要条件是p=r

6、yn）（3）/半负定的充分必要条件是-（）,「5（即f=-Zi-zl

7、_a2a22…a2k••••••••••••akak2…akk称为A的汀介顺序主子式.定理7〃阶矩阵A=q）为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式I41>0伙=1,2,•••,/?)・注：(1)若A是负定矩阵，则“为正定矩阵，。(2)A是

8、负定矩阵的充要条件是:(-1/141>0,伙=1,2,•••#).其中4是A的汀介顺序上子式.(3)对半正定(半负定)矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵q是半正定(半负定)的；b.a的所有主子式大于(小于)或等于零；c.A的全部特征值大于(小于)或等于零.三、几个简单的例题：例1设M是n阶实对称矩阵，则必存在正实数t,使得tl+M为正定阵，其中I是单位矩阵。证明：矩阵正定的充要条件：对任意X不等于0向量，有X'MX〉O,X'(TI+M)X=TX，X+X'MX,在所有的X中选一个X,使X'MX的值最小,X'MX=-MAX,其中MAX>0,而这时

9、对应的X'X的值为K,且K肯定大于0,又K,MAX都是常数，则必存在常数T,使TK-MAX>0,即X'(TI+M)X二TX