§P155.3正定二次型与对称正定矩阵

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1、5.3.1、正(负)定二次型的概念§5.3正定二次型与对称正定矩阵由定义可知，正定矩阵必是半正定矩阵，但是半正定矩阵不一定是正定矩阵。1为正定二次型为负定二次型例如一个二次型既不是半正定的，也不是半负正定的，则称是不定的二次型。为半正定二次型。为半负定二次型。为不定二次型。2定理1非退化线性变换不改变二次型的正定性，证明：设A是正定的，与定理1等价的有定理2合同变换不改变对称矩阵的正定性，35.3.2、正(负)定二次型的判别定理3设n元实二次型的秩为r，正惯性指标为p,负惯性指标为q，则二次型为(1)正定的充要条件是p=n,(2)负定的充要条件是q=n,(3)不定的充要条件

2、是0＜p＜r≤n,0＜q4定理4设A是n阶对称矩阵，则有(1)A是正定的充要条件是A的特征值全是正数。(2)A是正定的充要条件是A与单位阵合同，(3)A是正定的，则

3、A

4、＞05定理5对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正，即对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即6设二次型是正定的，对每个k，1≤k≤n,令证明必要性：7定理6设B是m×n矩阵，则BTB是对称半正定矩阵。如果B的秩是n，那末BTB还是正定矩阵。如果B的秩是n，即B的列向量线性无关，因此当X≠0时，必定有Y=BX≠0，从而有所以这时BTB是正定矩阵。证明：由(BT

5、B)T=BT(BT)T=BTB,可见BTB是对称矩阵。所以BTB是半正定矩阵。8正定矩阵具有以下一些简单性质9例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.10例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，11例3判别二次型的正定性.解12例4设矩阵判断矩阵A是否为正定，是否为负定?解取向量13所以A不是正定的。14例5判别二次型解二次型的对应矩阵为的正定性.15A和2A具有相同的正定性，故判定2A的正定性即可。162A的全部顺序主子式都大于0.A正定，f正定.17例6判断n阶(n≥2)矩阵A是否是正定阵.1

6、8解法1顺序主子式：正定19解法2求A的特征值.得A的特征值为全大于零.故A正定.解法3见p233例5.3.220例7设A,B是n阶实对称阵，其中A正定,试证当实数t充分大时，tA+B也正定.仍是对称阵，故存在正交阵R，证由A正定，存在可逆阵Q使A=QTQ，即(QT)-1AQ-1=(Q-1)TAQ-1=E，令P=Q-1，则有PTAP=E.21使其中是的特征值.22当时，全大于零，正定，从而正定。这时23242.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.5.3.4、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．3

7、.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法.25