正定二次型及正定矩阵

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1、中南财经政法大学信息系第四节正定二次型及正定矩阵第六章二次型一、正(负)定二次型的概念定义6.6具有实对称矩阵A的n元二次型为如果对于任意的非零向量，都有（或<0）成立，那么称二次型为正定（负定）二次型，A为正定（负定）矩阵。如果对于任意非零向量，都有（或）成立，并且存在某向量X0,使得那么称二次型为半正定（半负定）二次型，A为半正定（半负定）矩阵。3）如果对某向量，有，而对另一向量，有，则称该二次型为不定二次型。矩阵A称为不定矩阵。例如准则1对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正．二、正(负)定二

2、次型的判别证明必要性充分性推论1n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指数为n.对负定矩阵也有类似结论：准则二实对称矩阵A正定的充分必要条件为A合同于单位阵E.证明:若二次型正定,则A的特征值全部为正推论1对称矩阵为正定矩阵的充要条件是其存在可逆矩阵C使得A=CTC.若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=CTEC=CTC，则对于非零向量x推论2对称矩阵为正定矩阵，则A的对角线上的元素均大于零。准则3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主

3、子式为正，即例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，例3判别二次型的正定性.解例4当取何值时，实二次型是正定二次型．解实二次型的矩阵为为了使为正定二次型，式都应大于零，即的各阶顺序主子由可得，于是当时，二次型．为正定例5设为可逆矩阵,证明是正定二次型.证显然即令则对任意因可逆,所以故即是正定二次型.正定矩阵具有以下一些简单性质2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(3)顺次主子式判

4、别法；(2)特征值判别法.1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．三、小结思考题思考题解答