二次型正定矩阵 二次型和正定矩阵

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1、二次型正定矩阵二次型和正定矩阵二次型2007-029-8设Amn是实矩阵，E为n级单位矩阵。已知矩阵B=lE+A¢A.证明：当l>0时，矩阵B为正定矩阵。2007-029-922已知二次曲面方程为2x12+5x2求正交变换把该二次+5x3+4x1x2-4x1x3-8x2x3=1.（1）曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？2007-008-8é811-1ùê18-11úú14已知矩阵A=êê1-181úêú-1118ëûæx1öç÷çx2÷f(x,x,x,x)=(x,x,x,x)A(1)求二次型12

2、341234çx÷;ç3÷çx÷è4ø(2)用正交线性替换化二次型f(x1,x2,x3,x4)为标准型;(3)证明(a,b)=aTAb定义了R4上的内积,其中a,b是R4的列向量,aT是a的转置,并求在该内积下R4的一组标准正交基.(4)求实对称矩阵B使得Bk=A,其中k为正整数(只要写出B的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)2007-021-7求二项式f(x1,x2,...,xn)=x1x2+x3x4+...+x2n-1x2n的秩和正负惯性指数之差.2007-012-2求实二次型14f(x1,x2,x3,x4)=2x1x

3、2+2x1x3+4x1x4+2x2x3的规范形及符号差。2007-001（A）-1化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2-2x2x3+2x1x3为标准型,并给出所用的非退化线性替换.2007-030-2（3）（填空题）22已知实二次型f(x1,x2,x3)=x12+ax2+x3+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正负惯性指数都是1，则a=.2007-030-3（6）（计算与证明题）设A是n级实对称矩阵，AB+BTA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。2007-031-6设A为n阶正定矩阵，a1,a2,L,an为实n维非

4、零列向量，当i¹j时有ai’Aaj=0，证明：a1,a2,L,an线性无关.2007-031-9用正交线性替换将二次型22f(x1,x2,x3)=x12+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3化为标准型.2007-032-1（3）（判断题）两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。142007-032-6设A是n阶正定矩阵，证明它的行列式A£A的主对角线元素之积，等式成立当且仅当A的对角阵。2007-032-7设a1,a2,L,an是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的Gram矩阵A=(aij)可逆，其中aij=

5、(ai,aj)。2007-033-3给出将2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x4化为标准形的正交线性替换。2007-034-4设A为n阶正交矩阵且-1不是A的特征值。证明B=(A-In)(A+In)-1是反对称矩阵且A=(In+B)(In-B)-1。2007-034-6设A为n阶实正定对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵。证明A+B的行列式det(A+B)>0。2007-035-1（14）（选择、是非及填空题）æ3-20öç÷设A=ç-22-2÷，则使A+tE正定的实数t的取值范围是14。ç0-

6、21÷èø2007-035-2（20）（计算与证明题）æABö设ç÷为正定矩阵，其中A为m阶方阵，D为n阶方阵，B为m´n矩阵。证明：¢èBDøA,D与D-B¢A-1B都是正定矩阵。2007-035-2（22）（计算与证明题）设A为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B，使B2=A。2007-036-4设f(x)=X¢AX为实二次型，且存在X1,X2，使f(X1)>0,f(X2)<0，请证明：存在X3¹0，使得f(X3)=0。2007-019-4证明任意n阶实可逆阵A可以表成一个正定阵S与一个正交阵Q之积。2007-037

7、-7设A为n阶实对称矩阵，证明必存在数a使得A+aI为半正定而非正定，这里I表示n阶单位矩阵。 142007-037-11（1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差：22f(x1,x2,x3,x4)=x12+2x2+x4+4x1x2+4x1x3+2x1x4+2x2x3+2x2x4+2x3x4（2）t取什么值时，二次型22f(x1,x2,x3)=x12+4x2+x3+2tx1x2+10x1x3+6x2x3为正定的？2007-038-322用正交化二次型f(x1,x2,x3)=x12+x2+x3+4x1

8、x2+4x1x3+4x2x3为标准形。并写出所作的正交变换。2007-038-8æ13-14ö若A是实对称矩阵，证明：存在对称矩阵B，使得A=B3。并对二阶方阵ç÷。è-1413ø求出一个满足上面条件的矩阵B。2007-040-622试将Q(x1,x2,x3)=ax1+bx22+ax3+2cx1x3划为标准形，求出变