次型和正定矩阵

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1、第四章二次型和正定矩阵在本章中，我们将介绍特征值和特征向量，然后介绍由特征向量组成的矩阵，并且运用这些知识来判断二次型的正定性，与此同时，我们也介绍特征值与行列式、秩、迹的关系，最后我们介绍用行列式来判断二次型正定性的方法，作为特征值方法的补充。第一节引言二次型完整形式：其中代表变量而为常数矩阵表示法：常要求为对称矩阵。例二次型用矩阵表示为问题1：我们能否通过对变量的一些技巧性变换而化简二次型？问题2：是否存在这样的情况，不论我们为变量赋以何值，二次型总是取同一个正负号？定义关于问题2，我们有如

2、下定义：（i）矩阵为正定的，如果对于所有非零实向量，（ii）矩阵为半正定的，如果对于所有实向量，（iii）矩阵为负定的，如果对于所有非零实向量，（iv）矩阵为半负定的，如果对于所有实向量，（v）矩阵为不定的，如果对于某些向量为正，而对于某些向量为负。第2节对称矩阵的特征值定义A为矩阵，的特征值是一个数，对应存在着一个非零向量，满足：该向量被称为的特征向量。有如下定义式：为保证非平凡解的存在，要求一般而言，上式表达的是的次多项式方程：定理如果为对称矩阵，那么其所有特征值都为实数。例则为二次方程其两

3、个特征值为和第3节特殊矩阵的特征值相似矩阵定义令A和B为nXn矩阵。A和B是相似矩阵，如果存在一非奇异矩阵C使得定理如果A和B是相似矩阵，其具有相同的特征值。证明令A和B相似，考虑因此和是同一方程。幂等矩阵定理幂等矩阵的特征值为1或0。证明令A为幂等矩阵，考虑上下两式想减可得由于，则或者第4节对称矩阵的特征向量定义向量集（两两）正交，如果对于，有向量是标准化的，如果向量组为规范正交的，如果定理如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量正交。证明令和是两个不同特征值，分别对应于特征向量和。那

4、么有分别左乘和，有由于是数量，，同理，而A对称，故，则由于，则定理如果为K重的特征值，存在着K个对应着的特征向量，它们和其他特征向量一起构成一个规范正交集。求特征向量求解方法：将下列两式联立求解例求矩阵特征向量的规范正交向量组。已知A的两特征值为和由得到即由方程可得，那么作为特征向量我们取由可得即标准化条件要求，从而即因此我们取第二个特征向量为第5节列为对称矩阵特征向量的矩阵的列为对称矩阵A特征向量，A的特征值为的性质定义矩阵B是正交的，如果定理是正交矩阵证明显然那么因此，定理矩阵为对角矩阵，其

5、对角线上的元素为A的特征值。证明第6节二次型的对角化引言所提第一个问题：能否对二次型进行简化？令是列为A的特征向量的规范正交向量组的矩阵。考虑非奇异替换：或者则其中为对角矩阵引言所提第二个问题，我们有如下定理：定理（i）当且仅当的每个特征值都为正（负）时，二次型为正（负）定（ii）当且仅当的所有特征值都非负（非正）且至少一个为零时，二次型为半正（半负）定（iii）当且仅当的的特征值有正有负时，二次型不定例的特征值为0和3，故为半正定的，因此对于任意，，第7节特征值与，和因为而故有如下定理：对于对

6、称矩阵，A的非零特征值的个数考虑到一个矩阵左乘或者右乘一个非奇异矩阵时，其秩保持不变，故定理对于对称矩阵，等于其非零特征值的个数而则有如下定理：定理对于对称矩阵，第8节另一种方法：运用行列式定义的顺序主子式为，，，，。定理当为对称矩阵，则（i）当且仅当的个顺序主子式都为正时，其为正定矩阵。（ii）当且仅当的顺序主子式正负符号交替变化：第一个为负，下一个为负，依此类推，其为负定矩阵例考虑其顺序主子式为-1，，这些顺序主子式符号交替变化，其第一个为负，则为负定矩阵。定义的主子式为剔除同号行列后形成的

7、子方阵的行列式定理令为对称矩阵，则（i）当且仅当所有的主子式大于等于零时，其为半正定。（ii）当且仅当所有奇阶数主子式小于等于零而所有的偶阶数主子式大于等于零时，其为半负定。例其主子式为1，1，3都大于等于零，，都大于等于零，故为半负定