资源描述：
《二次型正定矩阵 -正定二次型与正定矩阵》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二次型正定矩阵6-2正定二次型与正定矩阵复习1.实对称矩阵满足：①特征值全为实数.②对每个特征值λ，都有ml=rl③属于不同特征值的特征向量必正交.实对称矩阵A必可正交对角化，即存在正交阵Q，使A=QLQ-1=QLQT2.二次型:f(x1,x2,…,xn)=i,j=1åanxixj＝xTAx其中A=ATij二次型f与对称阵A一一对应,A的秩称为f的秩.22标准形:f=t1x12+t2x2+L+tnxn矩阵为对角阵3.正交变换化二次型为标准形:f＝xTAx将A正交对角化QTAQ=L令x＝Qy，则得22f＝xTAx=yTLy=l1y12+
2、l2y2+L+lny9n配方法拉格朗日配方法的步骤：1.若二次型含有xi的平方项，则直接配方;2.若二次型中不含有平方项，但是aij≠0(i≠j),则先作可逆线性变换ìxi=yi-yjïíxj=yi+yjïîxk=yk(k=1,2,L,n;k¹i,j)化二次型为含有平方项的二次型，然后再配方.【例】化二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3+x1x3为标准形，并写出所作的可逆线性变换．ìx1=y1-y2æ1ï【解】令íx2=y1+y2即x=P1y，P1=ç1çïx=yç03î3è-1100ö÷0÷可逆1÷ø有f=y12-y22
3、+2y1y3=(y1+y3)2-y22-y32ìz1=y1+y3ìy1=z1-z3再令ïz=y2即ïy=z即y=P2z，P2=C13(-1)í22í22ïy=zïz3=y32可逆î33îìx1=z1-z2-z3ï所作的可逆线性变换为x=P1P2z，即íx2=z1+z2-z3ïx=z规范形î33得标准形f=z12-z22-z32前例中2f(x1,x2,x3)=2x12-4x1x2+x2-4x2x3用正交变换可化为用配方法可化为9规范形为22f=y12+4y2-2y322f=2z12-z2+4z322f=t12+t2-t3222f(x1,
4、x2,x3)=x1+3x2+x3+2x1x2+2x2x3+2x1x3用正交变换可化为用配方法可化为规范形为22f=y2+4y32f=z12+2z22f=t12+t2可见，二次型的标准形是不唯一的.但不论变换如何，标准形中非零系数的个数总是确定的，即为r(A)也即为二次型的秩.进一步还有：西尔维斯特(Sylvester)惯性律:对给定的二次型f＝xTAx，其任一标准形中正系数个数和负系数个数均为确定的数，分别称为f的正惯性指数和负惯性指数，记作p,n.p-n称为符号差.由Sylvester惯性律可进一步将标准形规范化：22f=y12+L
5、+yp-yp+1-L-yr2称为二次型f的规范形.规范形的系数分别为1,…,1,－1,…,－1,0,…,0(1,－1,0可以不同时出现).在这个顺序下，二次型的规范形是唯一的.所以一个二次型的标准形可以不止一个，但它的规范形是唯一的.9由此可给二次型分类.第六章二次型第二节正定二次型与正定矩阵正定二次型的概念正定二次型的判别一、正定二次型的概念定义1(二次型的分类)对n个变量的二次型f＝xTAx(1)若xÎRn,x¹0ÞxTAx>0,则称f为正定二次型;"T(2)若"xÎRnÞxTAx³0，且$x0¹0，使x0Ax0=0则称f为半正定
6、(正半定)二次型;(3)若xÎRn,x¹0ÞxTAx<0,则称f为负定二次型;"(4)若"xÎRÞxAx£0，且$x0¹0，使x0Ax0=0nTT则称f为半负定(负半定)二次型;(5)其他二次型都称为不定的.例如(1)f(x1,x2,x3)=2x12+x22+3x3222f(x1,x2,x3,x4)=2x12+x2+3x32f(x1,x2)=-x12-2x1x2-x2(2)为正定二次型为半正定二次型为半负定二次型Qf=-(x1+x2)£02T且取x0=(1,-1)T时，有x0Ax0=90(3)f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3
7、+x2x3为不定型二次型f(1,1,0)=1>0,f(1,-1,0)=-1<0定义2对给定的实对称阵A，若对应的二次型f＝xTAx是正定、半正定、负定、半负定时，就称A是正定、半正定、负定、半负定.记作A>0,A³0,A<0,A£0.注意正定矩阵必是对称阵.所以只有实对称矩阵，才能考虑其正定性.问题：怎样判断一个给定的二次型或实对称阵属哪一类？或更常需要判断一个二次型或实对称阵是正定的.若按定义：应对任一非零向量x,有xTAx>0这个条件怎么用？例若A正定，则有eiTAei>0而eiTAei＝aii由此得：aii>0,(i=1,2,L
8、,n)n阶实对称阵A＝(aij)为正定的必要条件是：但这只能用于否定.2例f=x12+x2-4x1x2虽然aii>0，但f是不定的.同理“A为负定的必要条件是aii<0,(i=1,2,L,n)9”二、正定二次型的判别定理
