可对称（半）正定矩阵反问题的最小二乘解

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1、妲季}翻孝Vo1．NO7SCIENCEFANS教育曩学1可对称(半)正定矩阵反问题的最小二乘解张华珍(湘西民族职业技术学院湘西吉首416000)摘要：对于X，B∈R“，给定Sc={A∈SR7(w)I-reX=B}，S。：{A∈s(w)lAX=B}。我们研究如下问题：问题I，给定，乏∈一，_YW—R，求AeS，使得f-(A)=ffAX一乏ff+f}_rA一面}I=min；问题Ⅱ，给定，z—eR⋯，一Y,W—R求A∈s。，使得f(A)=}f一乏}2+1ITA一面Ilmin；问题Ⅲ，给定矩阵Rnxn，求Se使得【1一II1IA一Il，其中，s是问题

2、Ⅱ的解集合。关键词：可对称(半)正定矩阵奇异值分解最小二乘解【中图分类号】O241．6【文献标识码】A【文章编号】1671—8437(2010)01～0024—011引言司对称正定解和司对称半正定解的充要条件及其通解表达式．文献【I】定义了可对称化矩阵、可对称正定化矩阵、可对称半同时解决了对称半正定化解对已知矩阵的最佳逼近问题。正定化矩阵．文献【2】在此基础上研究了可对称(半)iE定化矩阵2主要结论反问题的解及其最佳逼近，给出了存在解的充要条件．得到了通2．1问题I的解解的表达式，同时解决了方程AX=B的对称半正定化解对已知引理1【2I给定了

3、R一中的矩阵X。B和非奇异n阶方阵W，矩阵的最佳逼近问题．本章将在这些基础之上研究两类线性流f∑0＼形上可对称(半)正定化矩阵反问题的最小二乘解，为这一问题设Y=w～X，rankO0=k，Y的奇异值分解为Y=U{nn7V‘，其的理和应用增加新的内‘中∑：diag(仃，盯，．．．k)>0，(i：1，2，⋯，k)，u：(u，u2)EOR一，v：fv。，令A，r(A)，和rank(A)分别。表．示A的⋯转置，A的，迹和A的秩。v2)EoR一，u。∈R础，v．∈，令c：u一tBv，且c有如下分-块：当A，B∈Rnx时，A与B的内积定义为=t

4、r(BTA)，R一在此／cC,z1内积下成为Hilbert空间。而1IAIJ：、／为矩阵A的clc。c，，J，c”R，cn∈R，c2∈R，c∈R，Frobenius范数。对称(半)正定矩阵A>0(A≥0)，而A>B(或A≥则S中方程相容的充分必要条件是C,E>0，C2：O，c，且SFB)是指A—B>0(、或A—B≥0)。用R一表不实nxm矩阵类，OR一表fnn＼示n阶正交矩阵类，SR，sR，和sR分别表示n阶实对称{Ao+WUl：：}UqrEqG∈SR+}(2．】)矩阵类．对称正定矩阵类和对称半正定矩阵类．我们给出如下定、”b义：定定义义Il

5、1：：设设ww∈RR一一是是非非奇奇异异矩矩阵阵。。(i)若若AA∈RRmm满满足足fJcLu∑一∑cT21]IWAW一∈sR则称矩阵A为W对称矩阵。(ii)若A∈R一满足其中Ao=WUIwAwEsR，则称矩阵A为w半正定矩阵．这三类矩阵分别⋯∑Tj记为SR(W)，SR+w)，S(w)，称为可对称化矩阵类，可对称正(2．2)定化矩阵类，可对称半正定化矩阵类．本文仅考虑W为正交矩引理2给定X，B∈C，设X的奇异值分解为X=U阵的情况。／01对于x，B∈R一，给定sfA∈sR+一(w)IAx：B}，s：fA∈sR0IⅢIloGJV，其中u：(Ut

6、，u2)，0Ⅱ，V：(V1,V2)∈oR皿，乏：diag。我们究如下问题：(叮1z，．．盯r)>‘Pij=焘≤i'j≤r'=∈，则问题I(Ax_B)l问题I：给定，乏∈R一，，W一∈R“’，求A∈s使得f(A)：=rain在SRnxn中有解，且解的通式可以表示为：I1A一乏{l+lI_rA一面I1t11in(1·1)f西(UBvE+EVTBu)～vT，Bu1问题II：给定，z一∈RnxmW一∈R，，，求A∈s2，使得f(A)：一Iu，TBv，一E厂’lfA一乏fl斗¨一面tl2min(1．2)其中，E∈sR㈣x㈣问题Ⅲ：给定矩阵eR一，求s，

7、使得lJAA一lIminsE引理3网：设HR，H有如下分块：H：fHnn，121，IJ^，JI⋯、If1l2n／llA—AII【’jJ其中，Hl】∈R，H12∈R刚，H丑．∈R。若H：HT，则其中S是问题Ⅱ的解集合·(1)H>0的充分必要条件是H，，>O，H圹H，，H，2>0．本文给出了矩阵方程lJA一乏JI。+J_TA一面I2min存在(2)H≥0的充分必要条件是HI>0，H扩H2q-I，+H≥0，鲤科瀚孝VO1．N_07．SCIENCEFANS教育教学1rank(Hl1Hl：)=rank(H】1)本节引用的矩阵符号同上节．类似于定理1的证

8、明，我们可以得到：定理1给定，ZERrL~,，面Rnxl，令u=(定理2：问题Ⅱ中A)有解的充分必要条件是：T一T—(P。ZQE+EQzP。)／>0(2．12)(Z