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1、第30卷第1期东北电力大学学报Vo1.30.No.12010年2月JournalOfNortheastDianliUniversityFeb.,2010文章编号:1005—2992(2OLO)01—0070一o4对称双中心矩阵反问题的最小二乘解宫楠楠,杨士通,周硕(东北电力大学理学院,吉林吉林132012)摘要:研究对称双中心矩阵反问题。建立了对称双中心矩阵反问题的最小二乘解,给出了解的表达式。讨论了在最小二乘对称双中心解集合中求与给定矩阵最佳逼近解,并将所得结果应用于电网络中。关键词:矩阵方程;最小二乘解;最佳逼近中图分类号:0241.1文献
2、标识码:A引言矩阵反问题是计算数学的一个重要研究领域,其研究具有重要的理论意义和应用价值。近年来,对于矩阵反问题A=B的研究已取得了一系列的结果,获得了解存在的条件,但在实际问题中,矩阵和通常由实验测得,一般难以保证问题的解存在的条件,因此研究问题的最/J~--乘解是有实际意义的。令表示所nxm有实矩阵集合,OR表示阶正交矩阵的集合,SR表示阶对称矩阵的集合,厶表示17,阶单位阵,用rank(A),R(A),N(A),tr(A)分别表示矩阵的秩、列空间、零空间、迹,A表示的Moore—Penrose广义逆,e表示元素均为1的rt维列向量,在尺中
3、定义内积(A,B)=打(B),则构成一个Hilbert内积空间,由此内积空间导出的范数=~/打(ArA)即为矩阵A的Frobenius范数。定义1设A=()∈R“,若的每一行元素之和等于零,同时,它的每一列元素之和也等于零,则称A为rt阶双中心矩阵,所有n阶双中心矩阵全体记为DCR。若又为实对称矩阵,则称为n阶对称双中心矩阵,所有11,阶对称双中心矩阵全体记为DCSR。双中心矩阵,电网络理论上称其为不定导纳矩阵,在无移相器支路的情况下,是对称矩阵。若A为双中心矩阵,则A可表示为A=(L—1eer)y(L一1er)y,Y∈R,特别地,若l,为对称
4、矩阵,则A为对称双中心矩阵。在参考文献[1]中讨论了双中心矩阵的反问题及其最佳逼近问题,本文就对称双中心矩阵的最/J~--乘问题进行探讨。主要研究如下两个问题:问题I已知,B∈R求A∈DCSR,使得lIA—lJ=min.(1)问题ll已知∈R,求A∈S,使得JJ一jI=inf}I—AlJ,(2)收稿日期:20o9一ll一10作者简介:宫楠楠(1985一),女,黑龙江大庆人,东北电力大学应用数学专业硕士,主要从事矩阵及其特征值反问题研究第1期宫楠楠等:对称双中心矩阵反问题的最小二乘解7l其中S为问题I所有解的集合。2结论引理1⋯设e=(1,1,⋯
5、,1)∈R,则A∈DCR⋯的充分必要条件是Ae=0,e=0.(3)~Jltin2设,∈⋯,并且的奇异值分解为=『o1:U1∑,其中c厂:(,)∈oJR,V=(VI,)∈OR,U-∈R,∈R,r=rank(X),∑=diag(tr,盯2,⋯,,)>0,贝4满足A)=IJAX—BIJ=min的几阶实对称矩阵A可表示为A:+∑【(4)曰∑GJ其中G∈SR‘⋯一,=()∈Rrxr,60=三十_,1≤i,j≤r。并且A)=0有解∈SR的⋯充(r分必要条件为BXX=B.XB=Brx.(5)这时A)=0的通解为A=BX+(BX)(,n—XX)+£,2,(6)
6、其中G∈SR‘‘⋯是任意的。定理1已知,B∈R,e=(1,1,⋯,1)∈R,(,e)∈R州m,并且(,)的奇异值分解为(’e^)=f01:∑,(7)其中:(Uj,)∈0,=(,)∈OR‘⋯,U∈nxr∈R‘m⋯x,,,r=mnk(x,P),∑=diag(orI,2,⋯,17")>0,U∈月nxr,R‘,则问题I的解可表示为∞∑+∑'0)A:u【((8)曰,0)∑GJ’其中G∈SRI,H叶,=()∈rx,矿=击,1≤i,j≤r。证明由引理1,『lA(X,e)一(8,0)『I=『IA—B。+IfAe[I=『IA—BII,所以问题I等价于:已知X,B
7、∈R,求A∈DCSR,使得IA(X,en)一(8,0)0=min.(9)根据引理2,(9)式有解且解的表达式为(8)式,即问题I的解为(8)式。定理2已知,B∈R,e=(1,1,⋯,1)∈R,(,e)∈Rx+¨,且r肌J}(,e):r,则A=B有满足条件e=0的对称解当日.仅当B=Brx,e=0,(,0)(,en)(,e):(,0),(10)且通解可表示为A:(,0)(,en)+((,0)(,en))(一(en)(,e))+G,VG∈SRn一^)x(n_r)。(11)72东北电力大学学报第30卷其中£,2∈,卜rJ,£,2:⋯Ⅳf1:(U2)。
8、2.2问题II的求解当问题I的解集合非空时,易证S是一个闭凸集,因此问题Ⅱ存在唯一逼近解。UV4U:.(127定理3已知,B∈R,e=(1,1,⋯,1
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