对称双中心矩阵反问题的最小二乘解.pdf

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1、第30卷第1期东北电力大学学报Vo1．30．No．12010年2月JournalOfNortheastDianliUniversityFeb．，2010文章编号：1005—2992(2OLO)01—0070一o4对称双中心矩阵反问题的最小二乘解宫楠楠，杨士通，周硕(东北电力大学理学院，吉林吉林132012)摘要：研究对称双中心矩阵反问题。建立了对称双中心矩阵反问题的最小二乘解，给出了解的表达式。讨论了在最小二乘对称双中心解集合中求与给定矩阵最佳逼近解，并将所得结果应用于电网络中。关键词：矩阵方程；最小二乘解；最佳逼近中图分类号：0241．1文献

2、标识码：A引言矩阵反问题是计算数学的一个重要研究领域，其研究具有重要的理论意义和应用价值。近年来，对于矩阵反问题A=B的研究已取得了一系列的结果，获得了解存在的条件，但在实际问题中，矩阵和通常由实验测得，一般难以保证问题的解存在的条件，因此研究问题的最／J~--乘解是有实际意义的。令表示所nxm有实矩阵集合，OR表示阶正交矩阵的集合，SR表示阶对称矩阵的集合，厶表示17,阶单位阵，用rank(A)，R(A)，N(A)，tr(A)分别表示矩阵的秩、列空间、零空间、迹，A表示的Moore—Penrose广义逆，e表示元素均为1的rt维列向量，在尺中

3、定义内积(A，B)=打(B)，则构成一个Hilbert内积空间，由此内积空间导出的范数=~／打(ArA)即为矩阵A的Frobenius范数。定义1设A=()∈R“，若的每一行元素之和等于零，同时，它的每一列元素之和也等于零，则称A为rt阶双中心矩阵，所有n阶双中心矩阵全体记为DCR。若又为实对称矩阵，则称为n阶对称双中心矩阵，所有11,阶对称双中心矩阵全体记为DCSR。双中心矩阵，电网络理论上称其为不定导纳矩阵，在无移相器支路的情况下，是对称矩阵。若A为双中心矩阵，则A可表示为A=(L—1eer)y(L一1er)y，Y∈R，特别地，若l，为对称

4、矩阵，则A为对称双中心矩阵。在参考文献[1]中讨论了双中心矩阵的反问题及其最佳逼近问题，本文就对称双中心矩阵的最／J~--乘问题进行探讨。主要研究如下两个问题：问题I已知，B∈R求A∈DCSR，使得lIA—lJ=min．(1)问题ll已知∈R，求A∈S，使得JJ一jI=inf}I—AlJ，(2)收稿日期：20o9一ll一10作者简介：宫楠楠(1985一)，女，黑龙江大庆人，东北电力大学应用数学专业硕士，主要从事矩阵及其特征值反问题研究第1期宫楠楠等：对称双中心矩阵反问题的最小二乘解7l其中S为问题I所有解的集合。2结论引理1⋯设e=(1，1，⋯

5、，1)∈R，则A∈DCR⋯的充分必要条件是Ae=0，e=0．(3)~Jltin2设，∈⋯，并且的奇异值分解为=『o1：U1∑，其中c厂：(，)∈oJR，V=(VI，)∈OR，U-∈R，∈R，r=rank(X)，∑=diag(tr，盯2，⋯，，)>0，贝4满足A)=IJAX—BIJ=min的几阶实对称矩阵A可表示为A：+∑【(4)曰∑GJ其中G∈SR‘⋯一，=()∈Rrxr,60=三十_，1≤i,j≤r。并且A)=0有解∈SR的⋯充(r分必要条件为BXX=B．XB=Brx．(5)这时A)=0的通解为A=BX+(BX)(，n—XX)+￡，2，(6)

6、其中G∈SR‘‘⋯是任意的。定理1已知，B∈R，e=(1，1，⋯，1)∈R，(，e)∈R州m，并且(，)的奇异值分解为(’e^)=f01：∑，(7)其中：(Uj，)∈0，=(，)∈OR‘⋯，U∈nxr∈R‘m⋯x，，，r=mnk(x，P)，∑=diag(orI，2，⋯，17")>0，U∈月nxr，R‘，则问题I的解可表示为∞∑+∑'0)A：u【((8)曰，0)∑GJ’其中G∈SRI，H叶，=()∈rx，矿=击，1≤i,j≤r。证明由引理1，『lA(X，e)一(8，0)『I=『IA—B。+IfAe[I=『IA—BII，所以问题I等价于：已知X，B

7、∈R，求A∈DCSR，使得IA(X,en)一(8，0)0=min．(9)根据引理2，(9)式有解且解的表达式为(8)式，即问题I的解为(8)式。定理2已知，B∈R，e=(1，1，⋯，1)∈R，(，e)∈Rx+¨，且r肌J}(，e)：r，则A=B有满足条件e=0的对称解当日．仅当B=Brx，e=0，(，0)(,en)(，e)：(，0)，(10)且通解可表示为A：(，0)(,en)+((，0)(,en))(一(en)(，e))+G，VG∈SRn一^)x(n_r)。(11)72东北电力大学学报第30卷其中￡，2∈，卜rJ，￡，2：⋯Ⅳf1：(U2)。

8、2．2问题II的求解当问题I的解集合非空时，易证S是一个闭凸集，因此问题Ⅱ存在唯一逼近解。UV4U：．(127定理3已知，B∈R，e=(1，1，⋯，1