矩阵schur补的基本性质

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1、万方数据第13卷第6期2005年12月安徽建筑工业学院学报(自然科学版)JournalofAnhuiInstituteofArchitecture＆IndustryV01．13No．6Dec．2005矩阵Schur补的基本性质陈邦考，胡志龙(安徽建筑工业学院数理系，台肥230022)摘要：利用分块初等变换与分块初等矩阵的对应关系，讨论Schur补的行列式、逆，以及特征多项式等性质关羹词：分块初等变换；分块初等矩阵；Schur补中国分类号：0151．21文献标识码：A文章编号：1006—4540C2005)06—107—04Basicp

2、ropertiesoftheschurcomplementofmatrixCHENBang—kao，HUZhi—long(DepartmentofMathematicsandphysics．AnhuiInstituteofArchitecture＆Industry，Hefei230022。China)Abstract：Inthispaper，correspondingrelationofthepartionelemamtarytransformationsandpartitionelementaryMatrixsareused．The

3、qualitiesofdeterminants，InverseMatrixsSchurcomplementaredis—cussed．Keywords：partionelementarytransformationIpartitionelementarymatrixs；Sehurcomplement1关于矩阵的Schur补定义：设M一(会暑)，其中A是m阶非奇异阵，称D—CA“B为M关于A的Schur补，记作M／A。2主要结论及其证明定理1det(M／A)=糌证明：x十M一(cA：)进行分块行初等变换得到(：D—CAB，B)，根据分块

4、初等变换与分捧初等矩阵的关系，存在分块初等阵(一cIA。(一厶一。所以BCAM一(：暑)=(一点一。；)。(吾。一&。B)=(一厶一，；)f：MB似]收璃日期：2005—10_18作者筒介：陈邦考(1954一)，身，副教授，主要研究方向为矩阵代数D信一得BD懂@D万方数据t08安徽建筑工业学院学报(自然科学版)第13卷—————————————一—————————————————一————————————～所以det(M／A)=糌．定理2设M一(Ac暑)，A为非奇异阵，则M的特征多项式，M(^)一det(M—M)=det(M—A)de

5、tl-(M一蚴／(盯一A)]证明：对AI—M一(1：二f^f二)进行分块行初等变换和分块列初等变换得到(Ⅺ0A(Aj—D)一Co(aI—Ar。B)、(Aj一)一一)“‘1，所以，存在分块初等阵(c(zI二A)．：)和(：n7一frⅧ)，使得(c。舡■。；)(?。高)(jⅢ一∥B)一一AⅢ一蝴。盯删]

6、所以fM(a)=det(M一∽一det(M—A)detl-(M一蚴／(盯一A)]．定理3设M一(cA暑)，M和A为非奇异阵，则det(M／A)～=百deit(M鬲-1)证明：由定理1知，M一(Ac暑)非奇异错M／A非奇异。对M一(cA：)

7、进行分块行初等变换和分块列初等变换，有M一(cA：)(一占∞I。拟所以"1一(：一AIB)一1。M二广1(一∞I一，：)所以det(M／A)一面det丽(M可-1)．定理4令M一(cA：)，A一(舌HF)，其中M，A，E都是非奇异阵，则M／A=(M／E)／(M／E)证明：Q，A为非奇异阵，所以M／A非奇异阵，从而(M／E)／(M／E)有意义。令M一(cA暑)由上式有EFB1GHB2C1C2D其中BC一(C1，C1)删A=E州弘㈣跗一[G等。F兰2葛引趴，宙fIO，』●＼、副一o∞一DL、●／BA01，，Io∞》一qD，@Ao，L，，■

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