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1、Schur补的性质及其相关应用学院：信息工程学院专业:通信与信息系统姓名:罗桃建学号:6120140152摘要矩阵Ｓｃｈｕｒ补是矩阵理论中一个重要的知识点，在矩阵理论、统计分析、数值计算、线性方程组求解、区域分解方法、线性系统、控制论等问题的研究。中都有着广泛的应用．本文主要研究矩阵Ｓｃｈｕｒ补理论在矩阵理论中的问题．利用矩阵的一些基本性质和数学研究中的一些基本方法讨论Schur补、schur多项式、schur不等式、schur积、广义schur补、矩阵schur补、实方阵schur稳定、schur凸函数的相关应用．关键词：Schur补；广义Schur补；schur多项式ABSTRACT
2、MatrixSchurcomplementisoneofthemostimportantkensbothintheoryandapplications,andithaswideapplicationsinthestudyofSchurcomplement, Schurpolynomial, Schurinequality, Schurproduct,generalizedSchurcomplement, matrix Schurcomplement, nuclear Schur, Schurrealsquarematrixa stable, Schurconvexfunction.Key
3、word:Schurcomplement,matrix Schurcomplement,Schurpolynomial目录第一章绪论31.1基本概念及要研究的问题31.2Schur不等式4第二章Schur补性质和广义Schur补的性质52.1相关符号简介52.2矩阵Schur补的性质62.3相关符号与引理简介7第三章矩阵乘积之Schur补的奇异值估计83.1相关符号与引理简介83.2本章小结9第四章矩阵Schur补和实方阵Schur稳定、Schur凸函数的相关应用94.1矩阵Schur补应用94.2schur稳定104.3schur凸函数11参考文献12附：对邹老师的看法：13第一章绪论
4、1.1基本概念及要研究的问题矩阵Schur补的概念是1917年L.Schur在他的一篇文章中提出的，它在矩阵理论,统计分析，数值计算，线性方程组求解，区域分解方法，线性控制等领域都有着重大作用。本文主要讨论Schur补的性质及其在矩阵理论中的应用。首先引入矩阵Schur补的定义：定义1.1.1（Schur补定义）设，其中D是方阵且非奇异，称为M1关于D的Schur补，记作M1/D。如果D不是方阵，也可以定义假Schur补[1，2，3].我们假设D在矩阵M1中的位置不变，同样我们可以如下定义Schur补：，，。定义1.1.2（广义Schur补定义）设N={1，2，…n}，若，则={i1,i
5、2…ik}，1i1i2…ikn。设,N,则A()表示啊A的行序在，列序在的子矩阵。若=，则简记为A(),若A()非异，记=N-。则A关于A()的Schur的补记为：1.2Schur不等式Schur不等式设x,y,z!0,r是实数,则xr(x-y)(x-z)+yr(y-x)(y-z)+zr(z-y)(z-x)!0。变形1x3+y3+z3-(x2y+xy2+x2z+xz+yz+yz)+3xy!0简记为x3-x2(y+z)+3xyz!0变形2(x+y+z)3-4(x+y+z)(xy+yz+zx)+9xyz!0第二章Schur补性质和广义Schur补的性质2.1相关符号简介本章中,R表示实数集，
6、表示m×n复矩阵集，而表示为r的m×n矩阵集。表示A的Moore-Penrose逆。表示A的共轭转置。设A、B是Hermite阵，表示A-B是Hermite非负定阵。特别的，A0表示A是Hermite非负定阵。R(A)表示A的列空间。2.2矩阵Schur补的性质引理2.2.1[4]假设子阵D非奇异，则===。引理2.2.2[4]矩阵M=其中M1=，M2=，设n1，n2分别表示矩阵C,G的行数，p1，p2，p3分别表示矩阵A,BE的列数，D,M1,M2均为方阵且非奇异（其中n1=p2，n2=p3，n2=p1）则.引理2.2.3[31]令M=，A=其中M，A,E都是非奇异阵，则。引理2.2.
7、4[31]设M=，N=，其中A，E为非奇异阵，则.引理2.2.5[32]矩阵M=其中M1=设n1，n2分别表示矩阵C,G的行数，p1，p2分别表示矩阵B,E的列数，D，M1均为方阵且非奇异（n1=p1，n2=p2），则引理2.2.6[33]设若R(A)R(B),则引理2.2.7[34]设A=，若,rank(E)=rank=rank则2.3相关符号与引理简介本章中，R表示实数集，表示m×n复矩阵集，而表示秩为r的m×n矩阵集，表示A的
