D1_6极限存在准则.ppt

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1、三、两个重要极限第六节极限存在准则及两个重要极限第一章一、极限存在准则夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.二、函数极限与数列极限的关系一、极限存在准则1.夹逼准则证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故1)数列极限存在的夹逼准则（准则1）定理1.例1.解由夹逼准则得练习1：P564（2）证:利用夹逼准则.且由定理2.且2)函数极限存在的夹逼准则(准则1’)练习1：P574（4）（5）准则Ⅰ和准则Ⅰ′称为夹逼准则.注：利用夹逼准则Ⅰ关键是将xn作适当缩放得到极限容易求的数列yn与zn。注：利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的f(x)作适当缩放得到极限容易求

2、的g(x)与h(x)。(5)解2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52)(证明略)例2.设证明数列极限存在.(P52～P54)证:利用二项式公式,有大大正又比较可知根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又二、函数极限与数列极限的关系定理3.有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有定理1.有定义,且设即当有有定义,且对上述,时,有于是当时故可用反证法证明.(略)有证：当“”“”定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列不存在.法2找两个趋于的不同数列及使例1.证明不存在.证:取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.圆扇形AOB

3、的面积三、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有注注注当时例4.求解:例5.求解:令则因此原式例6.求解:原式=例7.已知圆内接正n边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用练习：P561(1)(2)(3)2.证:当时,设则(P53~54)当则从而有故说明:此极限也可写为时,令例8.求解:令则说明：若利用则原式练习4：P562(1)(2)例9.求解：解：例10.求定理则例11解：的不同数列内容小结2.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在1.极限存在准则：夹逼准则与单调有界准则法1找一个数列且使法2找两个趋于及使不存在

4、.2.两个重要极限或注:代表相同的表达式作业P561(1)，(3)，(5);2(1)，(3)；4(1),(3)，(5)P564(3)提示:可用数学归纳法证预习：§7无穷小的比较§8函数的连续性和间断点思考与练习填空题(1～4)第七节例12.求解:原式=1.证明因为x+，故不妨设x>0.于是总可取nN，使nx