“数形结合”在二次函数中的应用.doc

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1、“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。1、“以形解数”y例1：已知：点（-1，）（-3，）（2，）在y=3x2+6x+2的图象上，则：、、的大小关系为（）2A.＞＞B.＞＞-1x-1OC.＞＞D.＞＞分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图象1，由图象可以看出：抛物线的对称

2、轴为直线x=-1图1即：x=-1时,y有最小值,故排除A、B，由图象可以看出：x=2时y3的值,比x=-3时y2的值大,故选c.例2:已知抛物线y=2x2+x-2m+1与x轴的两个交点，在原点的两侧，则m的取值范围是（）Am＞Bm＜Cm＞-Dm＞分析：按常规,此题要用判别式、根与系数的关系列出不等式组解之，若用数形结合的方法，Y先画出抛物线y=2x2+x-2m+1XO的草图，易知当x=0时，y＜0,-2m+1因此，只要解不等式-2m+1＜0即可，即m＞，故选A图2例3：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点

3、在第三象限,且不经过第四象限,则此抛物线开口向，c的取值范围，b的取值范围，b2-4ac的取值范围。解：由题意画出图象，如图：y从而判断：a＞0,c≥0∴对称轴：x=-＜0∴b＞0O图象与x轴有两个交点：∴＞0x即b2-4ac＞0注：以上各题是“以形助数”即图3将数量关系借于图形及其性质，使其直观化，形象化，从而使问题得以解决。2、“以数助形”例4:已知：二次函数的图像与轴交于A（，0）、B（，0），，与轴交于点C，且满足求：这个二次函数的解析式；解:∵∴AO=-x1OB=x2Y∵a=1＞0∴CO=m+1＞0

4、∴m＞-1ABOOx∵C∴CO(OB-OA)=2AOOB即(m+1)(x1+x2)=-2x1x2∵x1+x2=2（m-1），x1x2=-（1+m）图4∴（m+1）2（m-1）=2（1+m）解得m=-1（舍去），m=2∴二次函数的解析式y=x2-2x-3注：本题是“以数助形”即将线段长度关系转化为点的坐标，通过解方程求出m的值，从而使问题轻易而举得以解决。3、“以数助形”“以形解数”例5：如图5，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，），与x轴交于两点A、B，且.求（1）A、B两点的坐标；

5、（2）求二次函数的解析式和顶点P的坐标；（3）若一次函数y=kx+m的图象的顶点P，把PAB分成两个部分，其中一部分的面积不大于PAB面积的，求m的取值范围。PY解：（1）∵C∴，.BANMOx∴A、B两点的坐标是A（5，0），B（-1，0）（2）由A（5，0），B（-1，0），C（0，），求得y=-（x-2）2+3.图5∴顶点P的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点P（2，3）且过点M（1，0）或N（3，0）时，就把PAB分成两部分，其中一个三角形的面积是PAB的面积的.①过N（3，0），P（2，

6、3）的一次函数解析式为y=-3x+9；过点A（5，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5＜m≤9.②过B（-1，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过点M（1，0），P（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m＜1.∴m的取值范围是-3≤m＜1或5＜m≤9.注：本题先由数到形，后由形到数，用运动变化的观点去进行观察分析和化归，巧妙地运

7、用了图形特征来观察图形的变化规律，解答十分巧妙，充分体现了“数”、“形”结合的解题思想。通过以上例子可以看出，正确地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易举得以解决。