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1、概率论与数理统计第四讲主讲教师：程维虎教授北京工业大学应用数理学院经计算，得到P(A
2、B)=P(A)=1/6.这就是说：事件B的发生，不影响事件A发生的概率。这时，称事件A与B独立。1.5.1两事件的独立设A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗匀称骰子两次，§1.5事件的独立性由乘法公式知，当事件A与B独立时，有P(AB)=P(A)P(B).用P(AB)=P(A)P(B)刻画独立性，比用P(A
3、B)=P(A)或P(B
4、A)=P(B)更好。◎不受P(B)>0或P(A)>0的制约；◎反映了事件A与B的对等性。定义1.5
5、.1若两事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B),(1.5.1)则称A与B相互独立。两事件独立的定义注：在实际应用中，两个事件是否相互独立，常常不是根据(1.5.1)式来判断，而是根据两个事件的发生是否相互影响来判断的。例如，甲、乙两人向同一目标射击，彼此互不相干，则甲、乙各自是否击中目标这类事件是相互独立的。又如，对某一物体进行多次测量时，不同次测量的测量误差都可以认为是相互独立的。例如，一批产品共n件，从中任取2件，设Ai={第i件是合格品}，i=1,2。若抽取是有放回的,则A1与A2相互独立。其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的
6、影响。其原因是:第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。=P(A)－P(AB)P(A)=P(A－AB)A与B独立概率的性质=P(A)－P(A)P(B)证明仅证A与独立。定理1.5.1若事件A与B相互独立，则也相互独立。=P(A)[1－P(B)]=P(A)P(),相互独立事件的性质例1.5.1甲乙两射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9和0.8。求每人射击一次后，目标被击中的概率。解设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，则且A,B相互独立。P(A)=0.9，P(B)=0.8，由概率的性质
7、及独立事件的性质，得另外，由及概率的性质，也可得请问：两个具有正概率的互斥事件能否独立？设P(A)≠0,P(B)≠0，从而A与B不独立。则AB=Φ，P(AB)=0,P(AB)≠P(A)P(B).故分析：且A与B互斥，由此可知：两个具有正概率事件，不能既互斥，又相互独立！那么，能否在样本空间Ω中找到两个事件，它们既相互独立又互斥呢?故，Φ与Ω既相互独立，又互斥。还不难发现:Φ或Ω与任何事件都相互独立。答：能。设A,B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，再看下面两个练习：1.P(B
8、
9、A)>0，2.P(A
10、B)=P(A)，3.P(A
11、B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。设A,B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B
12、A)>0，2.P(A
13、B)=P(A)，3.P(A
14、B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。定义1.5.2设A1,A2,…,An是n个事件，如果对任意k(2≤k≤n)个事件等式总数为：则称n个事件A1,A2,…，An相互独立。1.5.2多个事件的独立总有特别地，对三个事件A,B,C，若有则称事件A,B,C相互独立。P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A
15、)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C).注意:“多个事件相互独立”与“多个事件两两相互独立”的区别与联系。两两独立相互独立对n(n>2)个事件?多个相互独立事件具有如下性质：◎若事件A1,A2,…,An相互独立，则其中任意k个事件也相互独立；◎若事件A1,A2,…,An相互独立，则B1,B2,…,Bn也相互独立，其中Bi或为Ai，或为i=1,2,…,n。计算n个独立事件并的概率公式:设事件相互独立,则P(A1∪…∪An)也就是说:n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。例1.5
16、.2验收100件产品方案如下：从中任取3件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99，并已知这100件产品中恰有4件次品，求该批产品能被接收的概率。解设A={该批产品被接收}，Bi={取出的3件产品中恰有i件是次品},i=0,1,2,3，则因三次测试相互独立，故P(A
17、B0)=0.993，P(A
18、B1)=0.992(1-0.95),P(A
19、B2)=0.99(1-0.95)2,P(A
20、B3)=(1-0.95)3。由全概率公式,得例1.5
21、.3若干人独立地向一移动目标射击,每人击中目标的概率都是0.6。求至少需要多少人,才能以0.99以上的概率击中目标?解设至少需要n个人才能以0.99以
