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1、概率论与数理统计第十五讲数理统计学是一门应用性很强的学科。它研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出正确的推断和预测，为采取正确的决策和行动提供依据和建议。数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析。第六章样本与统计量§6.1引言由于大量随机现象必然呈现出其规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚地呈现出来。但是，客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得的只能是局部的或有限的观察资料。数理统计的
2、任务就是研究怎样有效地收集、整理和分析所获得的有限资料，并对所研究的问题尽可能地给出精确而可靠的推断。现实世界中存在着形形色色的数据，分析这些数据需要多种多样的方法。因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳成两大类。参数估计:根据数据，对分布中的未知参数进行估计；假设检验:根据数据，对分布的未知参数的某种假设进行检验。参数估计与假设检验构成了统计推断的两种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。§6.2总体与样本在数理统计中，称研究问题所涉及对象的全体为总体，总体中的每个成员为个体。例如:研究某工厂生产的某种产
3、品的废品率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品都是一个个体。6.2.1总体、个体与样本实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指标。如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全体。为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是：从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检测)，统计学上称这些样品为一个样本。同样，我们也将样本的数量指标称为样本。因此，今后当我们说到总体及样本时，既指研究对象又指它们的某项数量指标。例1：研究某地区
4、N个农户的年收人。在这里，总体既指这N个农户，又指我们所关心的N个农户的数量指标──他们的年收入(N个数字)。如果从这N个农户中随机地抽出n个农户作为调查对象，那么，这n个农户以及他们的数量指标──年收入(n个数字)就是样本。注意：上例中的总体是直观的，看得见、摸得着的。但是，客观情况并非总是这样。例2：用一把尺子测量一件物体的长度。假定n次测量值分别为X1,X2,…,Xn。显然，在该问题中，我们把测量值X1,X2,…,Xn看成样本。但总体是什么呢?事实上，这里没有一个现实存在的个体的集合可以作为上述问题的总体。可是，我们可以这样考虑，既然n个测量值X1
5、,X2,…,Xn是样本，那么，总体就应该理解为一切所有可能的测量值的全体。对一个总体，如果用X表示其数量指标，那么，X的值对不同的个体就取不同的值。因此，如果我们随机地抽取个体，则X的值也就随着抽取个体的不同而不同。所以，X是一个随机变量!既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。我们把X的分布称为总体分布。总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常把总体和总体分布视为同义语。6.2.2总体分布例3(例l续)：在例l中，若农户年收入以万元计，假定N户的收入X只取以下各值:0.5,0.8,l.0,1.2和1.5。取上述值的户数分别n1,n2,n3,n4和n5
6、(n1+n2+n3+n4+n5=N)。则X为离散型分布，分布律为:●如果总体所包含的个体数量是有限的,则称该总体为有限总体。有限总体的分布显然是离散型的，如例3。●如果总体所包含的个体数量是无限的，则称该总体为无限总体。无限总体的分布可以是连续型的，也可是离散型的。说明：在数理统计中，研究有限总体比较困难。因为其分布是离散型的，且分布律与总体中所含个体数量有关系。通常在总体所含个体数量比较大时，将其近似地视为无限总体，并用连续型分布逼近总体的分布，这样便于进一步地做统计分析。例4：研究某大城市年龄在1岁到10岁之间儿童的身高。显然，不管城市规模多大，这个
7、年龄段的儿童数量总是有限的。因此，该总体X只能是有限总体。总体分布只能是离散型分布。然而，为便于处理问题，我们将有限总体近似地看成一个无限总体，并用正态分布来逼近这个总体的分布。当城市比较大，儿童数量比较多时，这种逼近所带来的误差，从应用观点来看，可以忽略不计。样本的二重性●假设X1,X2,…,Xn是总体X中的样本，在一次具体的观测或试验中，它们是一批测量值,是已经取到的一组数。这就是说，样本具有数的属性。．●由于在具体试验或观测中，受各种随机因素的影响，在不同试验或观测中，样本取值可能不同。因此，当脱离特定的具体试验或观测时，我们并不知道样本X1,X2
8、,…,Xn的具体取值到底是多少。因此，可将样本看成随机变量。故，样本又具有随机变
