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1、概率论与数理统计第十五讲北京工业大学应用数理学院数理统计学是一门应用性很强的学科。它研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出正确的推断和预测，为采取正确的决策和行动提供依据和建议。数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析。第六章样本与统计量§6.1引言由于大量随机现象必然呈现出其规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚地呈现出来。但是，客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察或试验，也就是说：
2、我们获得的只能是局部的或有限的观察资料。数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理和分析所获得的有限资料，并对所研究的问题尽可能地给出精确而可靠的推断。现实世界中存在着形形色色的数据，分析这些数据需要多种多样的方法。因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳成两大类。参数估计:根据数据，对分布中的未知参数进行估计；假设检验:根据数据，对分布的未知参数的某种假设进行检验。参数估计与假设检验构成了统计推断的两种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。§6.2总体与样本在数理统计中，称研究问题
3、所涉及对象的全体为总体，总体中的每个成员为个体。例如:研究某工厂生产的某种产品的废品率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品都是一个个体。6.2.1总体、个体与样本实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指标。如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全体。为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是：从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检测)，统计学上称这些样品为一个样本。同样，我们也将样本的数
4、量指标称为样本。因此，今后当我们说到总体及样本时，既指研究对象又指它们的某项数量指标。例1：研究某地区N个农户的年收人。在这里，总体既指这N个农户，又指我们所关心的N个农户的数量指标──他们的年收入(N个数字)。如果从这N个农户中随机地抽出n个农户作为调查对象，那么，这n个农户以及他们的数量指标──年收入(n个数字)就是样本。注意：上例中的总体是直观的，看得见、摸得着的。但是，客观情况并非总是这样。例2：用一把尺子测量一件物体的长度。假定n次测量值分别为X1,X2,…,Xn。显然，在该问题中，我们把测量值X1,X2,…,Xn看成
5、样本。但总体是什么呢?事实上，这里没有一个现实存在的个体的集合可以作为上述问题的总体。可是，我们可以这样考虑，既然n个测量值X1,X2,…,Xn是样本，那么，总体就应该理解为一切所有可能的测量值的全体。又如：为研究某种安眠药的药效，让n个病人同时服用这种药，记录服药者各自服药后的睡眠时间比未服药时增加睡眠的小时数X1,X2,…,Xn，则这些数字就是样本。那么，什么是总体呢?设想让某个地区(或某国家，甚至全世界)所有患失眠症的病人都服用此药，则他们所增加睡眠的小时数之全体就是研究问题的总体。对一个总体，如果用X表示其数量指标，那么
6、，X的值对不同的个体就取不同的值。因此，如果我们随机地抽取个体，则X的值也就随着抽取个体的不同而不同。所以，X是一个随机变量!既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。我们把X的分布称为总体分布。总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常把总体和总体分布视为同义语。.6.2.2总体分布例3(例l续)：在例l中，若农户年收入以万元计，假定N户的收入X只取以下各值:0.5,0.8,l.0,1.2和1.5。取上述值的户数分别n1,n2,n3,n4和n5(n1+n2+n3+n4+n5=N)。则X为离散型分布，分布律为:例4(例2续)：在例
7、2中，假定物体真实长度为(未知)。一般说来，测量值X就是总体，取附近值的概率要大一些，而离越远的值被取到的概率就越小。如果测量过程没有系统性误差，则X取大于和小于的概率也会相等。在这种情况下，人们往往认为X服从均值为，方差为2的正态分布。2反映了测量的精度。于是，总体X的分布为N(,2)。说明：这里有一个问题，即物体长度的测量值总是在其真值的附近，它不可能取负值。而正态分布取值在(-∞,∞)上。那么，怎么可以认为测量值X服从正态分布呢?回答这个问题，有如下两方面的理由。(1).在前面讲过，对于X∼N(,
8、2)，P{-3
