概率论与数理统计ppt教学课件第7讲

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1、概率论与数理统计第七讲北京工业大学应用数理学院问题的提出在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如:已知圆轴截面直径D的分布,§2.4随机变量函数的分布求截面面积的分布。又如：已知t=t0时刻噪声电压I的分布，求功率W=I2R(R为电阻)的分布等。一般地，设随机变量X的分布已知，求Y=g(X)(设g是连续函数)的分布。这个问题无论在理论上还是在实实际中都非常重要。2.4.1离散型随机变量函数的分布解：当X取值-1，0，1，2时，Y取对应值4，1，0和1。由P{Y=0}=P{X=1}=0.1，P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0

2、.4=0.7，P{Y=4}=P{X=-1}=0.2.例1：设随机变量X有如下概率分布：求Y=(X–1)2的概率分布。得Y的概率分布：一般地，若X是离散型随机变量，概率分布为如果g(x1),g(x2),…,g(xk),…中有一些是相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同(不妨认为从小到大)的y1,y2,…,yi,….把yi所对应的所有xk(即yi=g(xk))的pk相加，记成qi,则q1,q2,…,qi,…就是Y=g(X)的概率分布。例2：在应用上认为:单位时间内，一个地区发生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月内发生火灾的次数X～P(5)，

3、试求随机变量Y=

4、X-5

5、的概率分布。解：由于X的所有可能取值为0,1,2,…,对应的概率分布为及Y=

6、X-5

7、可知，Y的所有可能取值为0,1,2,…。且对每个i，当0

8、k-5

9、=i;当i=0或i≥6时，只有一个k值与i对应，使

10、k-5

11、=i。于是，Y的概率分布为：2.4.2连续型随机变量函数的分布解：设Y的分布函数为FY(y)，则例3：设随机变量X有概率密度求Y=2X+8的概率密度。于是Y的密度函数注意到得求导可得当y>0时,例4：设X具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。解：设Y和X

12、的分布函数分别为FY(y)和FX(x),注意到Y=X2≥0，故当y≤0时，FY(y)=0；若则Y=X2的概率密度为：从上述两例中可以看到,在求P(Y≤y)的过程中,关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式。例如:用{X≤(y-8)/2}代替{2X+8≤y},用代替{X2≤y}。这样做是为了利用已知的X的分布，求出相应的Y的分布函数FY(y)。这是求随机变量函数Y=g(X)的分布函数的一种常用方法。例5：设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度。当时解：注意到,当y≤0时，FY(y)=0；当y≥

13、1时，FY(y)=1；当01,G(y)=1;对y<0,G(y)=0;由于0≤y≤1，对0≤y≤1,G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}=F[(y)]=y，即Y的分布函数是=P{F-1[F(X)]≤F-1(y)}=P{X≤F-1(y)}Y的密度函数故,Y服从[0，1]上的均匀分布。下面给

14、出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求随机变量函数的概率密度。定理的证明与前面的解题思路类似。其中x=h(y)是y=g(x)的反函数，定理1:设X是一个取值于区间[a,b],具有概率密度fX(x)的连续型随机变量,又设y=g(x)处处可导的严格单调函数,记(α,β)为g(x)的值域，则随机变量Y=g(X)是连续型随机变量，概率密度为例6：设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度。解：在区间(0,1)上，函数lnx<0，故y=-2lnx>0,于是y=-2lnx在区间(0,1)上单调下降，有反函数由前述定理，得注意取绝对值

15、已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入的表达式中得即Y服从参数为1/2的指数分布。本节介绍随机变量函数的分布问题。对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时,关键一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值{X∈G}的形式，然后利用X的分布求P{g(X)≤y}。小结