概率论与数理统计ppt教学课件第14讲

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1、概率论与数理统计第十四讲北京工业大学应用数理学院概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。所以，要从随机现象中去寻求统计规律,就应该对随机现象进行大量的观测。第五章极限定理随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来。研究随机现象的大量观测，常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究。极限定理的内容很广泛,最重要的有两种:“大数定律”和“中心极限定理”。对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出现频率具有稳定性。§5.1大数定律大量地掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中废品率5.1.1切比雪夫不等式定理1:设随机变量X有期望μ和方差σ2，则对任给的ε>0

2、,有或证明：只对X是连续型情况加以证明。设X的概率密度函数为f(x)，则有放大被积函数放大积分域5.1.2大数定律首先引入随机变量序列相互独立的概念。定义1：设X1,X2,…是一随机变量序列。如果对任意的n>1，X1,X2,…,Xn相互独立,则称X1,X2,…相互独立。几个常见的大数定律定理2(切比雪夫大数定律):设随机变量序列X1,X2,…相互独立，且有相同的期望和方差:E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2，i=1,2,…。则对任意的ε>0，有证明：令n→∞，并注意到概率小于等于1，得(1)式。定理证毕。该大数定律表明：无论正数ε怎样小,只要n充分大，事件发生的概率均可任意地接近

3、于1。即当n充分大时，差不多不再是随机变量，取值接近于其数学期望μ的概率接近于1。在概率论中，将(1)式所表示的收敛性称为随机变量序列依概率收敛于μ，记为。下面再给出定理2的一种特例——贝努里大数定律。设nA是n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是每次试验中A发生的概率。引入于是,有下面定理。设nA是n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是A发生的概率，对任给的ε>0，有定理3(贝努里大数定律):或贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A发生的概率p有一定偏差的概率很小。下面给出独立同分布条件下的大数定律,它不要求随机变量的方差存在。设随机变量序

4、列X1,X2,…独立同分布，有有限的数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，有定理4(辛钦大数定律):中心极限定理是棣莫弗(DeMoivre)在18世纪首先提出的，到现在内容已十分丰富。在这里，我们只介绍其中两个最基本的结论。§5.2中心极限定理当n无限增大时，独立同分布随机变量之和的极限分布是正态分布；2.当n很大时，二项分布可用正态分布近似。由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身，而只考虑其标准化的随机变量的极限分布。的极限分布。可以证明：当{Xn}满足一定条件时,Zn的极限分布是标准正态分布。考虑概率论中，常把随机变量之和标准化后的分

5、布收敛于正态分布的定理称为中心极限定理。中心极限定理的几种简单情形。下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理，称作列维——林德伯格(Levy——Lindberg)定理。定理1(列维——林德伯格定理)：设X1,X2,…是独立同分布随机变量序列，且E(X1)=μ,Var(X1)=σ2，对任给x∈(-∞,∞),均有其中Φ(x)是标准正态分布N(0,1)的分布函数。还有另一记法:定理2(棣莫佛——拉普拉斯定理):定理2表明:当n很大时，二项分布Yn标准化后的分布近似于标准正态分布N(0,1)。设随机变量Yn服从参数为(n,p)的二项分布(0

6、1：设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分布。每箱中装有这种产品100件。求(1).每箱产品的平均强度超过14.5的概率；(2).每箱产品的平均强度超过期望14的概率。解：n=100,设Xi是第i件产品的强度，则E(Xi)=14,Var(Xi)=4,i=1,2,…,100。每箱产品的平均强度为根据定理1，有μσ2/n例2：某公司有200名员工参加一种资格证书考试。按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。解:令依题设，知P{Xi=1}=0.8,np=200×0.8=160，np(1-p)=32，X1+X2+…+X200是考试通过人数,因

7、Xi满足棣莫佛—拉普拉斯定理的条件，故依此定理，近似地有于是例3：某市保险公司开办一年人身保险业务。被保人每年需交付保费160元。若一年内发生重大人身事故，其本人或家属获赔付金2万元。己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险。求:保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率。解:令由Xi∼B(1,p),p=0.005,X1,X2,,X5000相互独立,得P{20万元≤总收益≤40万元}=P{20万元≤(