概率论与数理统计第15讲

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1、一、随机变量方差的概念及性质二、例题讲解三、重要概率分布的期望和方差第二节　方　差四、小结由第一节知道，随机变量的数学期望可以反映随机变量取值的平均程度，但仅用数学期望描述一个随机变量的取值情况是远远不够的。例如：以手表的日走时误差为例:对于甲乙两种牌号的手表，它们的日走时误差分别为X，Y，并分别具有如下的分布列:容易算得,甲乙两种牌号的手表的数学期望都是0秒，现问,甲乙两种牌号的手表哪一种更准确？但仔细分析会发现甲牌号的手表优于乙牌号的.从数学期望是分不出优劣的。甲:80%的手表误差为0,只有20%分散在0的两侧;乙:40%的手表误差为0,大部分60%分散在0的

2、两侧;所以，考虑是否可用一个数字指标来衡量一个随机变量离开它的期望值的偏离程度？这是本节所讨论的问题。任给随机变量X，EX是其数学期望，显然，

3、X-EX

4、反映了偏离的大小，由于绝对值有诸多不便，所以用(X-EX)2去衡量这个偏差，从而(X-EX)2仍为随机变量，所以用(X-EX)2的平均值去衡量离开它的平均值EX的偏离程度，引入定义：1.方差的定义一、随机变量方差的概念及性质(1)由定义知,方差是r.v.X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.说明(2)应当注意:对随机变量X而言,其数学期望E(X)是一常数,而X-E(X)与[X-E(X)]2是随机变量.方

5、差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.2.方差的意义离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差3.随机变量方差的计算(1)利用定义计算证明(2)利用公式计算4.方差的性质(1)设C是常数,则有D(C)=0.(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有(3)设X是一个随机变量,C是常数,则有(4)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明证明结论：(4)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则若X,Y不独立,则由上面的

6、证明过程不难看出：推广(证明略)5、切比雪夫(Chebyshev)不等式设随机变量X具有期望E(X)=,方差D(X)=2存在，则对于任给>0,有不等式得证明取连续型随机变量的情况来证明.切比雪夫不等式的另一种形式为(a)由切比雪夫不等式可以看出，若D(X)越小,则事件{

7、X-

8、<}的概率越大，即随机变量X取值集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.说明：(b)可以利用切比雪夫不等式,在分布未知的情况下,而方差已知时,估计出X落在区间(E(X)-,E(X)+)内的概率（较粗糙）;(c)因为不等式对任意的均

9、成立，取＝3，得可见,对任给的分布,只要期望E(X)和方差2存在,则随机变量取值偏离E(X)超过3的概率是很小的,小于0.111.例1：设随机变量X的数学期望E(X)=、方差D(X)=20，记二、例题讲解解：称X*为X的标准化随机变量.y解例2于是y1.常见的离散型随机变量的均值及方差:三、几种重要随机变量的数学期望及方差(1)二项分布设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.现在我们来求X的数学期望和方差.y可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.X~B(n,p

10、),若设则X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.E(Xi)==pyX~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.若设i=1,2，…，n故D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2E(Xi)=P(Xi=1)=p,E(Xi2)=p,=p-p2=p(1-p)则X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，n于是由于X1,X2,…,Xn相互独立=np(1-p)y则有(2)泊松分布y所以y(1)均匀分布则有结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.2.常见的连续型随机变量的

11、均值及方差:y(2)指数分布则有y(3)正态分布则有yy这个例子又一次说明了数学期望E(X)是随机变量X取值的集中位置，反映了X的平均值。例:两边对x求导数，得显然,当x=E(X)时故当x=E(X)时f(x)取到最小值，最小值为y例1设随机变量X服从参数为的泊松分布,且则例2掷骰子100次，则点数之和的数学期望为______，方差为_______.例3已知随机变量X的概率密度是则X的数学期望E(X)=_____,方差D(X)=____.四、小结1.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D

12、(X)值小