概率论与数理统计第4讲

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1、概率论与数理统计第4讲1习题用步枪射击目标5次,设Ai为"第i次击中目标"(i=1,2,3,4,5),B为"5次中击中次数大于2",用文字叙述下列事件:解(1)5次射击至少一次击中目标(2)5次射击没有一次击中目标(3)5次射击中击中次数不大于22记住事件的加与积的运算满足分配律即任给事件A,B,C(A+B)C=AC+BC,如果AB,则A+B=A而对于任何事件都有AAB,因此对任何事件A与B恒有A+AB=A3第4题用图示法简化各式(A,B,C都相容)(A+B)(B+C)(A+B)(B+C)=A(B+C)+B(B+C)=AB+AC+B+BC=B+ACABC4(2)(A+B)(A+B)

2、AB5(2)(A+B)(A+B)(A+B)AB6概率的加法法则7例1100个产品中有60个一等品,30个二等品,10个废品.规定一,二等品都为合格品,考虑这批产品的合格率与一,二等品之间的关系解设事件A,B分别表示产品为一,二等品.则A与B不相容,AB=,A+B为合格品,则8例2200个产品中有6个废品,任取3个,求最多只有一个废品的概率P(B)解设事件A0,A1分别表示3个废品中有0个和1个废品,则B=A0+A1,且A0与A1与互不相容.则有利于B的基本事件数等于有利于A0与A1的基本事件数m1与m2之和,因此9例对光顾一个超市的顾客的购买情况进行统计,总共观察了1000名顾客,

3、其中花了400元以上的有50名,花的钱在100元到400元的有500名,试估计花钱超过100元的概率解假设A={花钱超过100元},B={花钱在100元到400元之间},C={花钱超过400元},利用频率来估计概率,则B,C互不相容,A=B+C10加法法则两个互不相容(互斥)事件之和的概率等于它们的概率的和.即当AB=时,P(A+B)=P(A)+P(B)实际上,只要P(AB)=0,上式就成立.加法法则的一个形象解释:将一个边长为1的方形看作是整个样本空间,而其中的每一区域代表一事件,这些区域的面积代表此事件发生的概率,则可以看出加法法则11如下图所示:如果区域A与区域B不重合,则它们

4、的总的面积等于各个区域的面积之和11AB12如果n个事件A1,A2,…,An互不相容,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)这个性质称为概率的有限可加性,但在建立概率概念时需要规定概率应具有完全可加性(又称可列可加性),即如果可列个事件A1,A2,…两两互不相容,则有A1A2A3A413若n个事件A1,A2,…,An构成一完备事件组,则它们的概率的和为1,即P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1特别地,两个对立事件概率之和为1,即A1A2A3A4AA14例掷3次硬币,求至少一次正面朝上的概率.解:假设A={至少一次正面},则A={全是反面},只包

5、含一个基本事件.基本事件总数为23=8,因此经常有一些概率论的较难的题,直接计算某事件的概率困难,因此考虑先求此事件的逆事件的概率15如果BA,则P(B-A)=P(B)-P(A)这是因为,如果BA,则必有B=A+(B-A),而A与B-A互不相容,因此P(B)=P(A)+P(B-A)BA16对任意两个事件A,B,有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)这被称为广义加法法则,这是因为A+B=A+(B-AB),而A与B-AB互斥,因此P(A+B)=P(A)+P(B-AB),而因为BAB则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)AB17由广义加法法则可以推导出多个事件的和的概

6、率公式例如,考虑任意三个事件之和A+B+C的概率P(A+B+C),先将B+C看作一个事件,得P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)-P[A(B+C)]=P(A)+P(B+C)-P(AB+AC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)--P(AB)-P(AC)+P(ABC)最后得P(A+B+C)==P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)ABC18例3产品有一,二等品及废品3种,若一,二等品率分别为0.63及0.35,求产品的合格率与废品率.解令事件A表示产品为合格品,A1,A2分别表示一,二等品.显然A1与A2互不相容,并且A=A1+A2,则P

7、(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.63+0.35=0.98P(A)=1-P(A)=1-0.98=0.02注意此题并非古典概型题.19例4一个袋内装有大小相同的7个球,4个是白球,3个为黑球.从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.解设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3),显然A2与A3互不相容,且20例550个产品中有46个合格品与4个废品,从中一次抽取3个,求其中有废品的概率.解设事件A表示