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《概率论与数理统计第4讲.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、概率论与数理统计第四讲显然，有P(A
2、B)=P(A).这就是说：事件B发生，并不影响事件A发生的概率。这时，称事件A与B相互独立，简称独立。1.5.1两事件的独立A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设§1.5事件的独立性由乘法公式知，当事件A与B独立时，有P(AB)=P(A)P(B).用P(AB)=P(A)P(B)刻画独立性，比用P(A
3、B)=P(A)或P(B
4、A)=P(B)更好。◎不受P(B)>0或P(A)>0的制约；◎反映了事件A与B的对等性。定义1：若两事件A,B满
5、足P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，或称A,B独立。两事件独立的定义例1：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到黑色的牌}。故,P(AB)=P(A)P(B).解：由于P(A)=4/52=1/13,这说明事件A,B独立。问事件A,B是否独立？P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，前面是根据两事件独立的定义得出A,B独立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办法得到A,B独立的结论。续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到黑色的牌
6、}。在实际应用中,往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立。由于P(A)=1/13,P(A
7、B)=2/26=1/13，故，P(A)=P(A
8、B)。这也说明A,B独立。如：一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第i件是合格品}，i=1,2。若抽取是有放回的,则A1与A2独立。其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。其原因是:第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。请问：如图的两个事件是否独立？即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立。其逆否命题是：若
9、A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B一定不互斥。而P(A)≠0,P(B)≠0。故A与B不独立。我们来计算：因P(AB)=0,P(AB)≠P(A)P(B)。即请问：能否在样本空间Ω中找到两个事件，它们既相互独立又互斥?所以，Φ与Ω独立且互斥。不难发现:Φ(或Ω)与任何事件都独立。答：能。设A,B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，请看下列两个练习。1.P(B
10、A)>0，2.P(A
11、B)=P(A)，3.P(A
12、B)=0，4.P(AB)=P(A)
13、P(B)。设A,B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B
14、A)>0，2.P(A
15、B)=P(A)，3.P(A
16、B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。=P(A)－P(AB)P(A)=P(A－AB)A与B独立概率的性质=P(A)－P(A)P(B)证明:仅证A与独立。定理1：若事件A,B独立，则也相互独立。=P(A)[1－P(B)]=P(A)P(),1.5.2多个事件的独立先将两事件独立的定义推广到三个事件上：对于三个事件A,B,C，若P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A
17、)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立，则称事件A,B,C相互独立。推广到n个事件的独立性定义,可类似地给出:设A1,A2,…,An是n个事件，如果对任意k(),任意，等式等式总数为：成立，则称n个事件A1,A2,…，An相互独立。请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n>2)个事件?多个相互独立事件具有如下性质：◎若事件A1,A2,…,An相互独立，则其中任意k个事件也相互独立；◎若事件A1,A2,…,An相互独立，则B1,B
18、2,…,Bn也相互独立，其中Bi或为Ai，或为Āi，i=1,2,…,n。对独立事件，许多概率的计算可得到简化。例2:三人独立地去破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人分别编号为1,2,3，1.5.3独立性概念在计算概率中的应用故，所求为P(A1∪A2∪A3)。记Ai={第i个人破译出密码}，i=1,2,3。已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，且P(A1∪A2∪A3)A1，A2，A3相互独立，计算n个独立事件并的概
19、率公式:设事件相互独立,则P(A1∪…∪An)也就是说:n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。例3：验收100件产品方案如下，从中任取3件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.9
