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1、概率论与数理统计第三讲在实际问题中,除了要考虑某事件A的概率P(A)外，有时还要考虑在“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。1.4.1条件概率I.条件概率的概念通常记事件B发生的条件下,事件A发生的概率为P(A
2、B)。一般情况下，P(A
3、B)≠P(A)。§1.4条件概率例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是废品。现从100件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性都相同，求(1).抽到的产品是次品的概率；(2).在抽到的产品是不合格品条件下,产品是次品的概率。解：设A={抽到的产品是次品}，B={抽到的产品是不
4、合格品}。(1).按古典概型计算公式，有可见，P(A)≠P(A
5、B)。(2).由于5件不合格品中有3件是次品，故可得虽然P(A)与P(A
6、B)不同，但二者之间存在什么关系呢?先来计算P(B)和P(AB)。因为100件产品中有5件是不合格品，所以P(B)=5/100。P(AB)=3/100。而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、又是次品”的概率，再由100件产品中只有3件即是不合格品又是次品，得通过简单运算，得有P(A)=1/6，又如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，求P(A
7、B)。已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B
8、。于是，P(A
9、B)=1/3。B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。可以得到：受此启发，对条件概率进行如下定义。若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B就变成了新的样本空间,于是就有(1)。II.条件概率定义为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。定义1:设A、B是两个事件，且P(B)>0，称III.条件概率的性质设B是一事件，且P(B)>0,则1.对任一事件A，0≤P(A
10、B)≤1;2.P(Ω
11、B)=1；而且，前面对概率所证明的一切性质，也都
12、适用于条件概率。3.设A1,A2,…互斥，则例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类,4只属甲类,两只属乙类。不放回地抽取三极管两次,每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类三极管的条件下,第二次又抽到甲类三极管的概率。解:记Ai={第i次抽到的是甲类三极管},i=1,2,A1A2={两次抽到的都是甲类三极管},由第2讲中的例1.3.3，可知再由P(A1)=4/6=2/3，得由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A
13、B),(2)而P(AB)=P(BA)，1.4.2乘法公式在已知P(B),P(A
14、B)时,可反解出P(AB)。将A、B的位
15、置对调，有故P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B
16、A)。(3)若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B
17、A)，(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率。当P(A1A2…An-1)>0时，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2
18、A1)…P(An
19、A1A2…An-1).多个事件乘法公式的推广:例3:一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求:第三次才取到正品的概率。解：设Ai={第i次取到正品},i=1,2,3。A={第三次才取到正品}。则:例4：袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑球
20、，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球c个。若B={第一、第三次取到红球,第二次取到黑球}，求P(B)。解:设Ai={第i次取到红球},i=1,2,3,则全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。综合运用加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B
21、A)P(A)>01.4.3全概率公式与贝叶斯公式例5:有三个箱子,分别编号1,2,3。1号箱装有1红球,4白球;2号箱装有2红球,3白球;3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱,再从
22、箱中任取一球，求取到红球的概率。解：记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}。即B=A1B∪A2B∪A3B，且A1B、A2B、A3B两两互斥。B发生总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生，于是，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。对和式中的各项运用乘法公式得设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0,i=1,2,…,n;另有一事件B,它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则全概率公式在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易,但总可
23、以适当地构造一组两两互斥的Ai,使B伴
