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《《概率论与数理统计》第21讲.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的联合分布?一、离散型分布的情形例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解:=a0br+a1br-1+…+arb0由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,…解：依题意例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明
2、Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…由卷积公式即Z服从参数为的泊松分布.r=0,1，…例3设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.若X~B(n1,p),则X是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是
3、以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z~B(n1+n2,p).例4设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.解:Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.一、连续型分布的情形化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,
4、Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:这两个公式称为卷积公式.下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例5若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域如图示:也即于是教材上例5请自已看.注意此例的结论：用类似的方法可以证明:若X和Y独立,结论又如何呢?此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).有限个独立正态变量的线性组合仍然服从
5、正态分布.更一般地,可以证明:从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.若每一个问题都这样求，是很麻烦的.下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函数的分布的定理.对二维情形,表述如下：2.假定变换和它的逆都是连续的;3.假定偏导数1.设y1=g1(x1,x2),y2=g2(x1,x2)是到自身的一对一的映射,即存在定义在该变换的值域上的逆变换:x1=h1(y1,y2),x2=h2(y1,y2)（i=1,2,j=1,2）存在且
6、连续;定理设(X1,X2)是具有密度函数f(x1,x2)的连续型二维随机变量,4．假定逆变换的雅可比行列式则Y1,Y2具有联合密度w(y1,y2)=
7、J
8、f(h1(y1,y2),h2(y1,y2))（*）即J(y1,y2)对于在变换的值域中的(y1,y2)是不为0的.例6设(X1,X2)具有密度函数f(x1,x2).令Y1=X1+X2，Y2=X1-X2试用f表示Y1和Y2的联合密度函数.故由(*)式,所求密度函数为解:令y1=x1+x2,y2=x1-x2，则逆变换为有时，我们所求的只是一个函数Y1=g1(X1,X2)的分布.一个办法是：对任意y,找出{Y1≤
9、y}在(x1,x2)平面上对应的区域{g1(X1,X2)≤y}，记为D.求出Y1的分布.P{Y1≤y}=然后由教材上的例6就是一例，请自己看.另一个办法是配上另一个函数g2(X1,X2)，使(X1,X2)到(Y1,Y2)成一一对应变换,下面我们用一例来说明.找出(Y1,Y2)的联合密度函数w(y1,y2),最后,Y1的密度函数由对w(y1,y2)求边缘密度得到：w(y1,y2)=
10、J
11、f(h1(y1,y2),h2(y1,y2))(*)然后利用定理,按例7设(X1,X2)具有密度函数f(x1,x2),求Y=X1X2的概率密度.按(*)式得Y和Z的联合密度为解:
12、令Y=X1X2,Z=X1，它们构成(x1,x2)到(
