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1、概率论与数理统计第三讲主讲教师：杨勇佛山科学技术学院数学系1.2.4几何概率模型I.什么是几何概率模型如果试验E满足(1).试验结果具有无限多种可能（例如，所有可能结果为直线上的一线段，平面上的一区域或空间中的立体等）；(2).各种结果出现的可能性相同。则称这样的试验模型为几何概率模型，简称几何概型。II.几何概率模型中事件概率求法换句话说，几何概型中基本事件的概率能不能像古典概型中基本事件的概率（1/n）那样有确定的值?能否求几何概型中基本事件的概率？答案是：不能！因为几何概型的样本空间Ω是无限的，所以几何概型中基本事件的
2、概率无法确定。（无穷小，可以认为等于0）下面我们介绍一个具体的几何概型中事件概率的计算。在一个面积为S(Ω)的区域Ω中等可能地任意投点，这里“等可能”的含义是：点落入Ω中任意区域A的可能性的大小与区域A的面积S(A)成正比，而与它在Ω中的位置以及自身的形状无关。那事件（指非基本事件）的概率如何计算呢？知记事件A={点落入区域A中}，则有从而这所确定的概率就是事件A的概率，通常称为几何概率。若在直线上投点，记事件A={点落入区域A中}，则有若在空间上投点，记事件A={点落入区域A中}，则有例：（会面问题）甲、乙两人相约在早上8
3、点到9点之间在某地会面，先到者等候另一个人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达，试计算两人能会面的概率。记事件A={两人能会面}，由于两人能会面的充要条件是：记8点为计算时刻的0时，以分钟为时间单位，以x,y,分别表示甲乙两人到达会面地点的时刻，解：则样本空间为：所以这是一个几何概型问题，于是在实际问题中,除了要考虑某事件A的概率P(A)外，有时还要考虑在“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。1.3.1条件概率I.条件概率的概念通常记事件B发生的条件下,事件A发生的概率为P(A
4、B),称为条
5、件概率。一般情况下，P(A
6、B)≠P(A)。§1.3条件概率例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是废品。现从100件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性都相同，求(1).抽到的产品是次品的概率；(2).在抽到的产品是不合格品条件下,产品是次品的概率。解：设A={抽到的产品是次品}，B={抽到的产品是不合格品}。(1).按古典概型计算公式，有可见，P(A)≠P(A
7、B)。(2).由于5件不合格品中有3件是次品，故可得虽然P(A)与P(A
8、B)不同，但二者之间存在什么关系呢?先来计算
9、P(B)和P(AB)。因为100件产品中有5件是不合格品，所以P(B)=5/100。P(AB)=3/100。而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、又是次品”的概率，再由100件产品中只有3件即是不合格品又是次品，得通过简单运算，得有P(A)=1/6，又如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，求P(A
10、B)。已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B。于是，P(A
11、B)=1/3。B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。可以得到：受此启发，对条件概率进行如下定
12、义。若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B就变成了新的样本空间,于是就有(1)。II.条件概率定义为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。定义1:设A、B是两个事件，且P(B)>0，称III.条件概率的性质设B是一事件，且P(B)>0,则1.对任一事件A，0≤P(A
13、B)≤1;2.P(Ω
14、B)=1；而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。3.设A1,A2,…互斥，则例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类,4只属甲类,2只
15、属乙类。不放回地抽取三极管两次,每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类三极管的条件下,第二次又抽到甲类三极管的概率。解:记Ai={第i次抽到的是甲类三极管},i=1,2,A1A2={两次抽到的都是甲类三极管},由第2讲中的例3，可知再由P(A1)=4/6=2/3，得由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A
16、B),(2)而P(AB)=P(BA)，1.3.2乘法公式在已知P(B),P(A
17、B)时,可反解出P(AB)。将A、B的位置对调，有故P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B
18、A)。(3)若P(A)>0
19、,则P(BA)=P(A)P(B
20、A)，(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率。当P(A1A2…An)>0时，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2
21、A1)…P(An
22、A1A2…An-1).多个事件乘法公式的推广:特别是n=3时，当P(A1A2A3)>0时，
