概率论与数理统计第5讲

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1、§6事件的独立性1由上节例子可见,一般情况下,P(B)≠P(B

2、A);亦即事件A,B中某个事件发生对另一个事件发生的概率是有影响的.但在许多实际问题中,常会遇到两个事件中任何一个事件发生都不会对另一个事件发生的概率产生影响.此时,P(B)=P(B

3、A),由乘法公式可写成P(AB)=P(A)P(B

4、A)=P(A)P(B).由此导出了事件间的相互独立.2一,两个事件的独立性定义1若两事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B)则称A,B独立,或称A,B相互独立.注:两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念,它们分别从两个不同的角度表达了两事件音的某种

5、联系.互不相容是表述在一次随机试验中两事件不能同时发生,而相互独立是表述在一次随机试验中一事件是否发生与另一事件是否发生有无影响.3事实上,我们可以证明:结论:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,P(B)>0,则有(1)当A与B相互独立时,则A与B相容.(2)当A与B互不相容时,则A与B不独立.4定理1设A,B是两事件,若A,B相互独立,且P(B)>0,则P(A

6、B)=P(A).反之亦然.证明由条件概率和独立性的定义.5定理2设事件A,B相互独立,则事件A与B,A与B,A与B也相互独立.证明由A=AB()B=ABAB,得PA()(=PAB

7、AB)()()=PAB+PAB=PAPBPAB()()()+PABPA()=−=()[1()]()().PBPAPB故A与B相互独立.由此易推得A与B,A与B相互独立.6例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},问事件A,B是否独立?解一利用定义判断.由41261PA()==,()PB==,521352221PAB()==5226得到P(AB)=P(A)P(B),故事件A,B独立.7解二利用条件概率来判断.由121PA()=,(

8、)PAB==,132613得到P(A)=P(A

9、B),故事件A,B独立.注:从

10、例1可见,判断事件的独立性,可利用定义或通过计算条件概率来判断,但在实际应用中,常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.8例如,甲,乙两人向同一目标射击,记事件A={甲命中},B={乙命中},因"甲命中"并不影响"乙命中"的概率,故A,B独立.又如,一批产品共n件,从中抽取2件,设事件A={第i件是合格品},(i=1,2).若取是有i放回的,则A与A独立.因第二次抽取的12结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的,则A与A不独立.129二,有限个事件的独立性定义2设A,B,C为三个事件,若满足等式PABPAPB()=()(),PAC()=

11、PAPC()(),(5.2)PBC()=PB()(PC),PABC()=PAPBPC()()(),则称事件A,B,C相互独立.10对n个事件的独立性,可类似地定义:设A1,A2,,An是n(n>1)个事件,若对任意k(1

12、独立的性质性质1若事件A,A,,A(n≥2)相互独立,12n则其中任意k(1

13、其中任何一个或多个事件的发生都不会对其余事件发生的概率产生影响,反之不然,下面举一些反例说明之.15例2*已知甲,乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4的四个球.今中甲,乙两袋中各取出一球,设A={从甲袋中取出的是偶数号球},B={从乙袋中取出的是奇数号球},C={从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球},试证A,B,C两两独立但不相互独立.16证明由题意知,P(A)=P(B)=P(C)=1/2.以i,j分别表示从甲,乙两袋中取出球的号数,则试验的样本空间为S={(i,j)

14、i=1,2,3,4;j=1,2,3,4}.由于S包含16个样本点,事件AB

15、包含4个样本点(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),而AC,BC都各包含4个样本点,故41PAB()()()=P