概率论与数理统计ppt教学课件第5讲

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1、概率论与数理统计第五讲主讲教师：李学京北京工业大学应用数理学院设X是一个离散型随机变量，其可能取值为x1,x2,…。为描述随机变量X，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率。§2.2离散型随机变量这样，我们就掌握了X这个取值的概率分布。例1：从盒中任取3球，记X为取到白球数。则X是一随机变量。X可能取的值为:0,1,2。取各值的概率为且用这两条性质判断一个数列是否是概率分布。2.2.1离散型随机变量概率分布的定义定义1：设离散型随机变量X所有可能取的值为且有则称p1,p2,…为离散

2、型随机变量X的概率分布或分布律，也称概率函数。其中p1,p2,…满足概率分布也可用下面表格的形式给出：解：依据概率分布的性质欲使上述数列为概率分布，应有例2：设随机变量X的概率分布为确定常数a。从中解得这里用到了幂级数展开式例3：某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求其两次独立投篮后，投中次数X的概率分布。解：X可取的值为：0,1,2，且P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01，P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18,P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81.易见：P(X=0)+P

3、(X=1)+P(X=2)=1.例4：如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器。设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知各电器接通的概率为0.8，记X为线路中接通的继电器的个数。求(1).X的概率分布；(2).线路接通的概率。解：(1).记Ai={第i个继电器接通},i=1,2.因两个继电器是否接通是相互独立的,所以A1和A2相互独立，且P(A1)=P(A2)=0.8.下面求X的概率分布:首先，X可能取的值为:0,1,2.P{X=0}=P{表示两个继电器都没接通}P{X=1}=P{恰有一

4、个继电器接通}P{X=2}=P{两个继电器都接通}所以，X的分布律为(2).因线路是并联电路，所以P(线路接通)=P(只要一个继电器接通)=P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96.2.2.2常见离散型随机变量的概率分布1.两点分布设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用Ω={1,2}表示其样本空间。P({1})=p,P({2})=1-p.则称X服从参数p的两点分布,记成X～B(1,p)。例5：200件产品中，有196件正品，4件次品，今从中随机地抽取一件，

5、若规定则P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02.故X服从参数为0.98的两点分布，即X～B(1,0.98)。例6：某射手每次射击时命中10环的概率为p,现进行4次独立射击，求{恰有k次命中10环}的概率。2.贝努里概型与二项分布解：用X表示4次射击后,命中10环的次数,则其中“×”表示未中，“○”表示命中。易见：X的概率分布为例7：将一枚匀称的骰子掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数。不难求得，X的概率分布是为掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”射击：“中

6、10环”，“未中10环”抽验产品：“抽到正品”,“抽到次品”设重复地进行n次独立试验，每次试验“成功”的概率都是p,“失败”的概率是q=1-p。一般地，设在一次试验中只有两个互逆的结果：,形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”。如：这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型。用X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则称随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布,记成X~B(n,p)。贝努里概型对试验结果有下述要求：(1).每次试验条件相同；二项分布描述的是：n重贝努

7、里试验中,事件A发生的次数X的概率分布。(3).各次试验相互独立。(2).每次试验只考虑两个互逆结果A或,例8：某类灯泡使用2000小时以上视为正品。已知有一大批这类的灯泡,次品率是0.2。随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率。解:设X为20只灯泡中次品的个数，则X~B(20,0.2)，则有见教材，p34。下面我们研究二项分布B(n,p)和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系。设试验E只有两个结果:A和。将试验E在相同条件下独立地进行n次，记X为n次独立试验中A出

8、现的次数。描述第i次试验的随机变量记作Xi,则Xi～B(1,p)，且X1,X2,…,Xn相互独立(随机变量相互独立的严格定义将在第三章讲述)。则有X=X1+X2+…+Xn.设随机变量X所有可能取的值为:0,1,2,…,概率分布为：3.泊松分布其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X～P(λ)。易见例9：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3的泊松分布。求：(1).一分钟内恰好收到3次寻的概率；(2).一分钟内收到2至5次寻呼的概率。.解:(1).P{X=3}=p(3;