概率论完整PPT课件第22讲.ppt

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1、在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是期望和方差一、离散型随机变量的数学期望1、概念的引入：某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？某电话交换台每天8:00-9:

2、00收到的呼叫数X是一个随机变量.如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？我们来看第一个问题.若统计100天,例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.2

3、7.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,这是以频率为权的加权平均由频率和概率的关系不难想到，在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.这样做是否合理呢？我们采用计算机模拟.不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:22300031112200033111有一个箱子，里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图.

4、规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验.记X为所取出的球的号码(对应废品数).X为随机变量，X的概率函数为下面我们用计算机进行模拟试验.2230003111输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3,并计算与进行比较.下面我们一起来看计算机模拟的结果.2230003111请看演示随机变量均值的确定则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:对于一个随机变量，若它可能取的

5、值是X1,X2,…,相应的概率为p1,p2,…,但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近定义1设X是离散型随机变量，它的概率函数是:P(X=Xk)=pk,k=1,2,…也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.如果有限,定义X的数学期望数学期望的统计意义请看演示要了解数学期望的统计意义，例1某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.解:设试开次数为X,P(X=k)=1/n,k

6、=1,2,…,nE(X)于是二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0

7、机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.若X~U(a,b),即X服从(a,b)上的均匀分布,则若X服从若X服从参数为由随机变量数学期望的定义，不难计算得：这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.已知某地区成年男子身高X~三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的

8、分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.那么是否可以不先求g(