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《中南大学概率论第4章第3讲剖析.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、概率论中南大学数学院概率统计课程组§4.3中心极限定理§4.4中心极限定理(续)1.中心极限定理的概念在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一个随机变量可以看作许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则这个随机变量一般都可以认为近似地服从正态分布.”例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差;测量者观察时视线所产生的误差子力学;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差;…显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响
2、.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:我们关心的是当n→∞时,随机变量和的极限分布是什么?由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，因此直接研究随机变量之和的极限分布不方
3、便,故先将其标准化为:再来研究上面随机变量序列的极限分布.若对于一切实数x,有定义：设{}为相互独立的随机变量序列,有有限的数学期望和方差令则称随机变量序列{}服从中心极限定理.2.独立同分布的中心极限定理定理[林德贝尔格-勒维(Lindeberg-Levy)定理]:设{}为独立同分布的随机变量序列,且具有数学期望,则随机变量的分布函数Fn(x),对于任意x,满足证明:例1:将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解:由中心极限定理解：特殊情形注:此为林德贝尔格-勒维定理的特殊情况.DeMoivre--Laplace定理(德莫佛
4、-拉普拉斯极限定理):设随机变量n服从二项分布则对于任意x,恒有由独立同分布的中心极限定理得解：若第i个对象收看此节目若第i个对象不看此节目在前面介绍的中心极限定理中,不仅要求随机变量序列相互独立,而且要求它们同分布.而实际问题中的许多随机变量序列,说其具有独立性是合理的,但很难满足同分布的要求.为了解决此问题,引入下面的林德贝尔格条件:§4.4中心极限定理(续)(独立不同分布下的中心极限定理)(1)若{}是连续型随机变量序列,密度函数列为{pk(x)},如果对任意的τ>0,有定义:设{}为相互独立的随机变量序列,且具有数学期望和方差记(2)若{}
5、是离散型随机变量序列,的分布列为则称{}满足林德贝尔格条件.如果对任意的τ>0,有注:由林德贝尔格定理可以推出林德贝尔格-勒维定理定理(林德贝尔格定理):设独立随机变量序列{}满足林德贝尔格条件,则对任意实数x,有设{}为相互独立同分布的随机变量序列,且具有数学期望E()=μ和方差D()=σ2,若为连续型随机变量,密度函数为pk(x)=p(x),则若存在δ>0,使得定理(李雅普诺夫定理):设{}为相互独立的随机变量序列,且具有数学期望和方差记则对任意的实数x有证明:只需验证{}满足林德贝尔格条件.仍设为连续型随机变量,密度函数为pk(x)则有解：若
6、学生答对第i题若学生答错第i题例5:利用中心极限定理证明：证：设是独立同分布随即变量序列，共同分布为的Poisson分布，故由林德贝尔格－勒维中心极限定理知由普哇松分布的可加性知是参数为的普哇松分布，因而小结:1.中心极限定理的定义；2.几个中心极限定理：德莫佛-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）；林德贝尔格一勒维定理（独立同分布的中心极限定理）;林德贝尔格定理;李雅普诺夫定理3.利用中心极限定理解决一些实际中的概率计算问题.作业:P222 4.33,4.34,4.36,4.41
