北邮概率论讲议 第4讲.ppt

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1、2021/10/4北京邮电大学电子工程学院1第三节L-S测度和L测度作为测度的重要特列，本节给出了Lebesque-Stieltjes测度（简称L-S测度）的构造方法，其特殊情况就是L测度。2021/10/4北京邮电大学电子工程学院2∵(-,a]∈B(1)，(-,b]∈B(1)当b>a，(-,b](-,a]=(a,b]∈B(1)另：而：一维Borel域设=R(1)，考虑由R(1)的一些子集组成的集合类：G={(-,a],a∈R(1)}，称(G)为R(1)的Borel域，记为B(1)，并称B(1)中的元素为一维的Bor

2、el集。2021/10/4北京邮电大学电子工程学院3推广情形：设为n维实数空间，考虑由的一些子集组成的集合类：称(G)为上的Borel域，记作B(n)。Gn维Borel域2021/10/4北京邮电大学电子工程学院42021/10/4北京邮电大学电子工程学院4第三节L-S测度和L测度一、n维L-S测度当bi=+时，将(ai,bi]改为(ai,+)。于是(A)=(G)=B(n)。令要说明(A)=(G)=B(n)，分为两部分：2021/10/4北京邮电大学电子工程学院5如果某个bj=+,上式中改为aj

3、达方便，2021/10/4北京邮电大学电子工程学院62021/10/4北京邮电大学电子工程学院6第三节L-S测度和L测度一、n维L-S测度利用n维广义分布函数F(x1,x2,xn)，得到：A上的测度F利用测度扩张定理可以唯一确定一个B(n)上的测度利用测度完全化定理，可以唯一确定一个完全化的测度，这就是著名的kolmogorov定理。类似地也可利用分布函数构造：B(T)上的测度2021/10/4北京邮电大学电子工程学院7注意：分布函数一定是广义分布函数。2021/10/4北京邮电大学电子工程学院8可以证明：对于n元函数F(x1,

4、x2,…,xn)，在B(n)上存在唯一的测度F，满足：F((a,b])=(a,b]F，其中a,bR(n)下面简单地阐述构造的步骤和方法：若a,bR(n)，则(a,b]A，定义F((a,b])=(a,b]F2021/10/4北京邮电大学电子工程学院9A上的每个集合可表为互不相交的(a,b]的有限并，即：由前面两步在A上定义的测度是-有限的，由扩张定理，可以将F唯一地扩张到(A)=B(n)上，且使得：F((a,b])=(a,b]F，其中a,bR(n)2021/10/4北京邮电大学电子工程学院10将B(n)上的

5、测度F完全化，记B(n)关于F的完全化的-代数为B(n)F，定义在B(n)F上的完全化测度仍记用F。综上所述，称这样定义的测度F为由广义分布函数F产生的Lebesque-Stieltjes测度（简称L-S测度）。2021/10/4北京邮电大学电子工程学院11L-S测度的特殊情况是L测度，当取：F(x1,x2,…xn)=x1x2…xn当n=1，L测度即为区域(a,b]的长度当n=2，L测度即为区域(a,b]的面积当n=3，L测度即为区域(a,b]的体积此时：(a,b]F=b1b2b3-a1b2b3-b1a2b3-b1b2a

6、3+a1a2b3+a1b2a3+b1a2a3-a1a2a3=(b3-a3)(b2-a2)(b1-a1)2021/10/4北京邮电大学电子工程学院122021/10/4北京邮电大学电子工程学院12当取：F(x1,x2,…xn)为n维随机变量的分布函数,则由F生成的B(n)F上的测度记为PF，它是B(n)F上的概率测度，PF(R(n))=1。这个结论其实正是概率论中著名的Kolmogorov定理。二、无穷维Borel域B(T)上的测度（略）1、分布函数的相容性2、B(T)上的测度PF2021/10/4北京邮电大学电子工程学院13第四节

7、概率空间2021/10/4北京邮电大学电子工程学院13定义1.4.1设为一非空集合，F是上的-代数，称(，F)为可测空间；若AF，则称A为F可测集或可测集；若是F上的测度，则称(，F，)为测度空间。定义1.4.3设(，F)为可测空间，P是F上的概率测度，则称(，F，P)为概率空间；若AF，则称A为(，F，P)的随机事件或事件。第五节条件概率空间和事件的独立性（略，自学）2021/10/4北京邮电大学电子工程学院14本章先介绍一般的可测函数，把随机变量作为其特殊情况，再讨论随机变量的性质。第二章随机变量和可测函

8、数随机变量的分布2021/10/4北京邮电大学电子工程学院15随机变量是取有限值的可测函数，而可测函数可为无穷大，因此我们约定：2021/10/4北京邮电大学电子工程学院16第一节可测函数和随机变量一、映射及其逆象定义2.1.1设