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1、八年级数学·下新课标[北师]第一章三角形的证明学习新知检测反馈2直角三角形（第1课时）学习新知【问题】如图所示的是一个直角三角形房梁,其中BC⊥AC,∠BAC=30°,AB=10cm,CB1⊥AB,B1C1⊥AC1,垂足分别是B1,C1,那么BC的长是多少?B1C1的长呢?解:在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10cm,∴BC=AB=×10=5(cm).∵CB1⊥AB,∴∠B+∠BCB1=90°.∵∠A+∠B=90°,∴∠BCB1=∠A=30°.在Rt△BCB1中,BB1=BC=×5=2.5(cm).∴AB1=
2、AB-BB1=10-2.5=7.5(cm).∵在Rt△C1AB1中,∠A=30°，∴B1C1=AB1=×7.5=3.75(cm).我们记得教材中曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用基本事实和已有定理,那么我们能够证明勾股定理吗?勾股定理及其逆定理已知:如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.求证a2+b2=c2.证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠BAC,并取BE=c,连接ED,AE(如图),则△ABC≌△BED.∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相
3、等,对应边相等).∴四边形ACDE是直角梯形.∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b)=(a+b)2.∴∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°.∵AB=BE.∴S△ABE=c2.∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,∴(a+b)2=c2+ab+ab,即a2+ab+b2=c2+ab,∴a2+b2=c2.已知:如图所示，在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求证△ABC是直角三角形.〔解析〕要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果借助△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A
4、与对应角(构造的三角形的直角)相等,问题就可证.证明:如图所示,作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).∵AB2+AC2=BC2,∴BC2=B'C'2,∴BC=B'C',∴△ABC≌△A'B'C'(SSS),∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).因此,△ABC是直角三角形.定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,若b=5，c=13，则a=；若a=8
5、，b=6，则c=.12102.如图所示，在等边三角形ABC中，AD为它的高线，若它的边长为2，则它的周长为,AD=,BD∶AD∶AB=∶∶.612检测反馈3.已知正方形ABCD,AC为它的一条对角线,若AB=2,则AC=；若AC=2,则AB=,AC∶AB=∶.14.如图所示，在△ABC中，∠A+∠C=2∠B，则∠B=；若∠A=30°，AB=6，则BC=.解析:根据三角形内角和定理,得∠B=60°,由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,得BC=AB=3.60°35.(2015·潜江中考)如图所示，在Rt△ABC
6、中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°，则∠CDE=.解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=26°,∴∠B=64°.将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ECD=45°,∠CED=∠B=64°,∴∠CDE=180°-∠ECD-∠CED=71°,故填71°.71°6.在长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图所示的方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.解:设DE=x
7、,则DE=BE=xcm,AE=(10-x)cm.∠DAE=90°,在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,所以x2=42+(10-x)2,解得x=5.8,所以DE=5.8cm.7.AB是一段长12m的墙,用18m长的网围成一个如图所示的鸡舍,求鸡舍的面积.解:设BC=xm,则AC=18-x.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC2=AB2+BC2,所以(18-x)2=122+x2,解得x=5,所以BC=5m,所以S△ABC=BC×AB=×5×12=30(m2).
