弹性力学第02章_(3).ppt

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1、平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数主要内容§广义胡克定律xxyxxyyyxxyyyxxy§广义胡克定律§2.5平面问题的物理方程物理方程：考虑平面问题的物理学条件而得出的应力与应变的关系，又称本构方程和广义胡克定律。E为拉压弹性模量-杨氏模量G为剪切弹性模量m为横向变形系数—泊松比对于理想弹性体，有平面应力问题的物理方程将平面应力问题的条件sz=tzx=

2、tzy=0代入物理方程，可得平面应变问题的物理方程将平面应变问题的条件ez=gzx=gzy=0和w=0代入左式，可得并有sz=m(sx+sy)和tzx=tzy=0两类平面问题的物理方程比较平面应变问题的物理方程平面应力问题的物理方程将平面应力问题物理方程中的E和m作如下替换，可得平面应变问题的物理方程平面问题的基本方程从平面问题的三套基本方程可见，对于两类平面问题，除了物理方程中的有关系数要进行相应的变换外，其它的平衡微分方程和几何方程完全相同。平面问题的基本方程共有8个：（2个平衡微分方程、3个几何方程、3个物理方程）。这8个基本方程包含8个未知函数（坐标的未知函数）：

3、3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量。要想求解这些未知函数，还必须考虑弹性体边界上的条件。平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数主要内容§2.6平面问题的边界条件边界条件：表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，又分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。1、位移边界条件：若给定了部分边界上的约束位移分量，则边界上每一点的位移函数应满足如下条件其中等式左边是位移的边

4、界值，而等式右边则是边界上的约束位移分量，是边界上坐标的已知函数。对于完全固定的边界，其约束位移分量均为0。平面问题的边界条件2、应力边界条件：若给定了部分边界上面力分量，则由边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点的应力与面力的关系式：其中等式左边是应力分量的边界值，而等式右边则是边界上的面力分量，是边界上坐标的已知函数。l和m为该点处边界面外法线的方向余弦。平面问题的边界条件对于应力边界条件，必须很好地理解和掌握，应注意以下几点：1、应力边界条件表示边界上任一点的应力和面力之间的关系，它是函数方程，在边界上每一点都应满足；2、公式（2-3）表示的是区域内任一点的斜

5、面上的应力分量与坐标面上的应力分量之间的关系，适用于平面区域内任一点，而边界条件（2-15）只能应用于边界上。因此，必须将边界S的方程代入（2-15）的应力表达式中；平面问题的边界条件3、注意式（2-15）中的面力和应力具有不同的正负号规定，且分别作用于通过边界点的不同面上。外法线方向余弦则按三角公式确定正负号。4、平面问题中应力边界条件都是两个，分别表示x和y两个方向的条件，它是边界上微分体的平衡条件，也属于静力学条件。平面问题的边界条件对于边界面为坐标面的情形，应力边界条件(2-15)可进行简化如下：由于面力和应力具有不同的正负号规定，因此，在正负坐标面上，表达式中的

6、符号是不相同的。在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号。若x=a为正x面，若x=b为负x面，平面问题的边界条件由上可知，应力边界条件可采用两种表达形式：1、在边界上取出一个微分体，考虑其平衡条件，便可得出应力边界条件（2-15）或其简化式；2、在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）。由于面力的数值和方向是给定的，因此，在同一边界面上，应力的数值应等于对应的面力的数值，而面力的方向就是应力的方向。例如：在斜面上，在正负坐标面上，如同前述简化式。平面问题的边界条件混合边界条件：一部分边界具有已知位移，因而具有位移

7、边界条件，如式（2-14）；另一部分边界具有已知面力，因而具有应力边界条件，如式（2-15）；另外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个是应力边界条件。例　题例2.6.1：如图，为左侧受静水压力、下边固定的水坝，试写出其应力边界条件（固定边不写）。右侧面：左侧面：例　题例2.6.2：如图，为上、下边分别受均布力作用的三角形悬臂梁，试写出其应力边界条件（固定边不写）。上边界：下边界：思考题思考题：如图所示，薄板条在y方向受均匀拉力作用（视为平面应力问题），试证明在板中间突出部分的